V meste Hranov nad Kartou sú tri ulice. Na ulici Pravdová žijú iba pravdovravci. Na ulici Lžová žijú iba klamári. Na ulici Šachová žijú ľudia, ktorí po jednej striedajú pravdivé a klamlivé vety. Raz si požiarnici všimli kúdol dymu nad mestom a hneď sa aj ozval telefón:
* Volajúci: „Na mojej ulici horí!“
* Požiarnik: „A na akej ulici bývate?“
* Volajúci: „Lžová.“

Vieme, že horí iba na jednej ulici. Na ktorej?

Námestie má tvar polkruhu s priemerom \(AB\), stredom \(S\) a bodmi \(C\), \(D\), \(E\) a \(F\) na kružnici ako na obrázku. Vieme, že trojuholník \(ASC\) je rovnostranný a že úsečky \(CD\), \(DE\), \(EF\) a \(FB\) sú všetky rovnako dlhé. Zistite veľkosť uhla \(EFB\).

Platí, že v Hranove sú iba Ligreťáci a Kryciaci. Každý Ligreťák posiela každý deň každému Kryciakovi \(2\) listy. Každý Kryciak posiela každému Ligreťákovi každý deň \(1\) list. Doposiaľ sa každý deň takto poslalo \(624\) listov. Dnes sa do Hranova prisťahoval Igor Rýľ, prvý človek, ktorý je naraz aj Ligreťák, aj Kryciak, a obdržal \(45\) listov. Koľko bolo pred Igorovým príchodom v Hranove Ligreťákov a Kryciakov?

Tri tímy hrajú hru a zabudli, aký majú počet bodov, pamätajú si len tieto tvrdenia o ich počte bodov:
* Prvý tím: „Počet bodov má nepárny ciferný súčet, párny ciferný súčin, a ak k nemu pripočítame \(1\), tieto dve vlastnosti sa nezmenia.“
* Druhý tím: „Počet bodov má párny ciferný súčet, párny ciferný súčin, a ak k nemu pripočítame \(1\), tieto dve vlastnosti sa nezmenia.“
* Tretí tím: „Počet bodov má párny ciferný súčet, nepárny ciferný súčin, a ak k nemu pripočítame \(1\), tieto dve vlastnosti sa nezmenia.“

Zistite, aký najmenší počet bodov môže mať každý z tímov, alebo dokážte, že taký počet bodov neexistuje.

Dva rody baktérií, červený a modrý, vedú vojnu v skúmavke. Modrých je na začiatku \(86\) a červených je \(50\). V každej chvíli sa udeje jedna z týchto vecí:

* Jedna modrá baktéria sa rozdelí na \(4\) modré baktérie.
* Jedna červená baktéria sa rozdelí na 5 červených baktérií.
* Stretne sa \(6\) modrých a \(6\) červených baktérií, pobijú sa a všetky umrú. 

Krycák prišiel a zistil, že v skúmavke je už iba jeden rod baktérií. Ktorý z nich to môže byť? Prečo to ten druhý byť nemôže?

Na papieri má Krycák nakreslený plán domu v tvare trojuholníkovej mriežky s \(5\)
riadkami ako na obrázku. Trojuholníky predstavujú miestnosti. V najvrchnejšej miestnosti na pláne je vchod do domu. Z jednej miestnosti do druhej sa dá prechádzať iba vtedy, ak spolu susedia stranou. Do každej miestnosti sa dá vojsť iba raz.
1.  Koľko najviac miestností vie Krycák navštíviť v tomto pláne domu?
2. Koľko najviac miestností by vedel navštíviť, ak by plán domu bola mriežka s \(2025\) riadkami?

Poradie