Maruška, Ninka a Bianka si navzájom porovnajú, koľko šiat majú. Každá princezná povie kladné celé číslo. Bianka vždy odčíta menšie z čísel Marušky a Ninky od väčšieho, a to prehlási za svoje číslo. Ukážte, že vždy budú mať párny počet šiat v šatníku, ak ho vypočítajú ako:

　a. súčet ich čísel,

　b. súčin ich čísel.

Na bál prišlo \(31\) princezien. Možno ich rozdeliť do troch skupín: klamárky, ktoré vždy klamú, pravdovravkyne, ktoré vždy hovoria pravdu, a striedačky, ktoré striedavo klamú a hovoria pravdu. Každá striedačka si náhodne vyberie svoju prvú odpoveď (buď klamstvo, alebo pravdu). Kráľ položil všetkým princeznám tie isté tri otázky v tomto poradí:

- „Si pravdovravkyňa?“ na ktorú \(22\) princezien odpovedalo „Áno“.
- „Si striedačka?“ na ktorú \(15\) princezien odpovedalo „Áno“.
- „Si klamárka?“ na ktorú \(9\) princezien odpovedalo „Áno“.

Koľko bolo pravdovravkýň, klamárok, striedačiek začínajúcich pravdou a striedačiek začínajúcich klamstvom?

Ornament je v tvare štvorca \(ABCD\) s obsahom \(128\) cm\(^2\). Bod \(E\) je stredom strany \(AB\). Na uhlopriečke \(AC\) je bod \(F\) taký, že uhol \(EFC\) je pravý. Aký je obsah trojuholníka \(AEF\)?

Komnata má tvar trojuholníkového plánika ako na obrázku. V rohových políčkach komnaty sa nachádzajú mačky a v stredovom políčku myš. Mačky lovia myš, ktorá pred nimi uteká. Zvieratká sa na plániku pohybujú tak, že každú sekundu sa všetky zvieratká naraz presunú do niektorého zo susedných trojuholníkov (susedné trojuholníky k trojuholníku sú tie, ktoré s ním zdieľajú stranu). Mačka zje myš, ak sa ocitnú naraz na rovnakom políčku. Ako najdlhšie vie myš ostať nažive?

Na otvorenie zámku potrebuje Maruška vynásobiť štyri celé, kladné, po sebe idúce čísla a výsledok vydeliť číslom \(10\). Po tomto delení jej ostane nenulový zvyšok. Aký, a prečo?

Bianka a kúzelník sa striedajú v kreslení na nekonečný papier, pričom každý bude kresliť štyrikrát. Bianka kreslí priamky a kúzelník kružnice. **Žiadne dve nakreslené priamky alebo kružnice nesmú byť totožné (teda také, že každý bod jednej z nich patrí aj tej druhej)**. Kúzelník chce, aby na konci bolo čo najmenej bodov prieniku. Bianka chce, aby na konci bolo čo najviac bodov prieniku. Koľko najviac bodov prieniku môže na konci byť na papieri, ak obaja hrajú najlepšie ako môžu a 

　a. začína Bianka,

　b. začína kúzelník?

_Pozor: 11.10. sme do zadania pridali upresnenie hrubým písmom._

36. ročník - zimný semester