Kúzelník napísal štyri vety:

- „Aspoň jedna z týchto viet je pravdivá.“
- „Aspoň dve z týchto viet sú pravdivé.“
- „Aspoň dve z týchto viet sú nepravdivé.“
- „Aspoň jedna z týchto viet je nepravdivá.“

Koľko z napísaných viet môže byť nepravdivých? Nájdite všetky možnosti a vysvetlite, prečo žiadny iný počet nepravdivých viet nie je možný.

Kúzelník mal kartičky s ciframi $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, každú práve raz. Z týchto kartičiek poskladal tri rôzne prvočísla so súčtom $100$. Nájdite všetky možnosti, aké môžu byť tieto trojice, a ukážte, že iné možnosti nie sú.

*Pozn. Prvočíslo je číslo, ktoré má práve dvoch deliteľov - $1$ a seba samého. Pozor! Číslo $1$ nie je prvočíslo.*

Kráľ a kráľovná hrajú hru. Na začiatku majú na stole jednu obdĺžnikovú tabuľku čokolády ľubovoľných rozmerov, ktorá je rozdelená mriežkou na štvorčeky. Striedajú sa v ťahoch, pričom začína kráľ. V jednom ťahu môže hráč buď zjesť jednu celú tabuľku čokolády, ktorá je práve na stole, alebo jednu z tabuliek rozlomiť na dve časti jedným rovným lomom pozdĺž mriežky. Hráč, ktorý zje poslednú tabuľku zo stola, prehráva. Môže jeden z nich vyhrať bez ohľadu na to, ako hrá ten druhý? Ako?

Princezné idú na výpravu medzi krajinami za kúzelníkom (na obrázku označenými písmenkami $Z$, $A$, $B$, $C$, $D$, $E$). Z krajiny môžu ďalej ísť iba do krajín, ku ktorým vedie šípka. Začínajú s prázdnym pasom. Pri prechode z krajiny do krajiny vždy dostanú do svojho pasu na koniec radu príslušnú pečiatku $$\bigcirc$$ alebo $$\blacksquare$$. V rámci svojej výpravy môžu prejsť ľubovoľnou cestou cez krajiny, výprava začína aj končí v krajine $Z$. Každú z krajín môžu navštíviť ľubovoľný počet krát.

　a) Mohli sa princezné z výpravy vrátiť s pasom s pečiatkami $$\bigcirc$$ $$\blacksquare$$ $$\bigcirc$$  $$\blacksquare$$  $$\bigcirc$$ alebo $$\bigcirc$$ $\bigcirc$ $$\bigcirc$$ $$\blacksquare$$ $$\blacksquare$$ $$\blacksquare$$?

　b) Princezné sa vrátili z výpravy a v pase mali na striedačku pečiatky $$\bigcirc$$ $$\blacksquare$$ $$\bigcirc$$  $$\blacksquare$$... Aké počty takýchto dvojíc $\bigcirc\blacksquare$  mohli v pase mať a aké nemohli? Prečo?

　c) Nájdite pravidlo, podľa ktorého môžeme jednoznačne určiť, či rad pečiatok mohol byť v pase na konci výpravy, alebo nie.

Pole má tvar štvorca $ABCD$, v ktorom sú body $E$ a $G$ postupne stredy strán $AB$ a $CD$ a bod $F$ leží na strane $BC$. Priesečník úsečiek $EG$ a $DF$ nazvime $H$. Akú časť celého štvorca $ABCD$ tvorí súčet obsahov trojuholníkov $DGH$ a $EFH$? Nezabudnite ukázať, že nezáleží na konkrétnom umiestnení bodu $F$.

Kúzelníci v kruhu majú čísla od $1$ do $200$. Pre akékoľvek číslo platí nasledovné: ak sa pozrieme na $99$ čísel v smere hodinových ručičiek a $99$ čísel proti smeru hodinových ručičiek, obe skupiny budú obsahovať rovnaký počet čísel menších ako toto číslo. Aké číslo bude mať kúzelník, ktorí sa nachádza oproti kúzelníkovi s číslom $113$?

Dôvera

Eset

Nadácia Eset

Ness

UPJS

Wincent

4. ročník ZŠ

Základná škola kpt. Jána Nálepku

6. ročník ZŠ | Príma

Evanjelické gymnázium Jána Ámosa Komenského

Základná škola

5. ročník ZŠ

Škola pre mimoriadne nadané deti a gymnázium

Základná škola sv. Voršily

Súkromná základná škola Felix

Základná škola Pavla Marcelyho

Gymnázium

Súkromná základná škola slobodného demokratického vzdelávania

Základná škola s materskou školou

Základná škola Dr. Jozefa Dérera

Základná škola Mateja Lechkého

Gymnázium Jána Adama Raymana

Základná škola s materskou školou Milana Rastislava Štefánika

Iná škola

Základná škola Teodora Jozefa Moussona

Základná škola s materskou školou sv. Marka Križina

Základná škola ako organizačná zložka Spojenej školy

Základná škola, ako organizačná zložka Spojenej školy

Základná škola Slovenského národného povstania

Gymnázium Terézie Vansovej

Základná škola Bartolomeja Krpelca

36. ročník - zimný semester

1. séria