2. séria

V kruhu sedí niekoľko malých zajačikov. Prvý z nich povie: ,,Je nás tu 6‘‘ a vyskočí z kruhu preč. Postupne vyskakuje z kruhu ďalší a ďalší zajačik a vždy povie: ,,Všetci, čo vyskočili predo mnou, klamali.‘‘ Takto to pokračuje až kým v kruhu nebude sedieť ani jeden zajačik. Koľko zajačikov hovorilo pravdu? Nájdite všetky možnosti a svoje riešenie odôvodnite.

Na papieriku stálo, že štvormiestny PIN kód od dverí je zaujímavý:

Prvočíslo je prirodzené číslo väčšie ako 1, ktoré je deliteľné len číslom 1 a samo sebou.

Obytný sektor má tvar štvorca $5\times 5$ a každá miestnosť (štvorček $1\times 1$) má priradené jednociferné číslo. V prípade núdze je potrebné vyfarbiť niektoré miestnosti tak, aby sa žiadna hodnota vyfarbenenej miestnosti nevyskytovala medzi nevyfarbenými hodnotami v žiadnom riadku ani stĺpci viac ako 1-krát. Ďalšou podmienkou je, že vyfarbené miestnosti sa nesmú dotýkať stranou a nevyfarbené musia tvoriť súvislú plochu (v nej musia byť všetky nevyfarbené miestnosti spojené stranou).

Vybratých 5 zajacov sa zúčastnilo turnaja. Každý s každým odohral práve jeden zápas. Za výhru získava hráč $1$ bod, za remízu $0,5$ bodu a za prehru $0$ bodov. O turnaji vieme len to, že zajac s najvyšším počtom bodov nemal žiadnu remízu. Zajac, ktorý skončil ako druhý, žiaden zápas neprehral. A každý zo zajacov získal iný počet bodov. Koľko bodov získali jednotlivé zajace? Nájdite všetky možnosti a odôvodnite, že iné nie sú.

Fred a Henry hrajú hru, v ktorej si na začiatku Henry vymyslí dvojciferné prirodzené číslo. V každom ťahu potom Fred povie Henrymu nejaké prirodzené číslo $f$, ktoré je väčšie ako 1. Ak je Henryho číslo násobkom Fredovho čísla $f$, tak Fred vyhráva. V opačnom prípade Henry odčíta Fredove číslo $f$ od svojho aktuálneho čísla a hra pokračuje ďalším ťahom s novým číslom $f$. V momente, keď Henry dostane záporné číslo (číslo menšie ako 0), tak Fred prehrá. Ak je to možné, tak vymyslite ako má Fred hrať, aby vždy vyhral.

Máme $3\times 7$ mín na mínovom poli rozmiestnených do tvaru štvorčekovej mriežky. Každá mína je ofarbená práve jednou z dvoch farieb. Ukážte, že nech sú míny ofarbené akokoľvek, tak v mriežke vždy existuje obdĺžnik so štyrmi mínami (vrcholmi) jednej farby. Rovnakej farby musia byť len vrcholy obdĺžnika.