2. séria

Štyri roboty sa nachádzajú na priamke a predstavujú body $P$, $Q$, $R$ a $S$ v nejakom poradí. Vieme, že dĺžky úsečiek $|PQ|$, $|QR|$, $|RS|$ a $|SP|$ sú jednotlivo $13$, $11$, $14$ a $12$. Aké je poradie bodov na priamke a aká je vzdialenosť medzi bodmi, ktoré sú od seba najvzdialenejšie? Nezabudnite nájsť všetky možnosti.

Les má podobu štvorcovej tabuľky o rozmeroch $n\times n$, ktorá je vyplnená všetkými číslami od $1$ po $n\cdot n$ tak, že čísla v každom riadku, každom stĺpci a aj na oboch hlavných uhlopriečkach majú rôzne súčty. Aká najmenšia tabuľka sa dá zostrojiť? Prečo sa menšia už zostrojiť nedá? (Ak ste sa s tým ešte nestretli, tak $n$ označuje nejaké neznáme číslo. Ak by bolo napr. $n=4$, tak ide o tabuľku so $4$ riadkami a $4$ stĺpcami, kde nájdeme čísla od $1$ do $4\cdot 4$, teda do $16$.)

V obávanom bludisku sa nachádza portál pod jedným z polí $\alpha$ (alfa), $\beta$ (beta), $\gamma$ (gama), $\delta$ (delta), $\omega$ (omega). Každé pole sa nachádza na inom mieste (viď obrázok). Len pod jedným poľom sa nachádza portál a môžeme sa dostať len pod jedno zvolené pole. V okolí obávaného bludiska sa pohybovalo $5$ strážcov, každý o portáli tvrdil niečo iné. Postupne títo piati ľudia povedali:

Hráč $A$ a Hráč $B$ majú na papieri napísaných $100$ jednotiek oddelených medzerami. Hráč $A$ začína a s Hráčom $B$ sa ťah po ťahu striedajú. Každý hráč musí v každom ťahu umiestniť medzi nejaké dve susedné jednotky znamienko plus alebo znamienko krát. Po vyplnení všetkých medzier ostane na papieri príklad, ktorého výsledok je buď párny, alebo nepárny. Ak je párny, vyhráva Hráč $A$, ak je nepárny, vyhráva Hráč $B$. Jeden z hráčov dokáže hrať tak, aby vždy vyhral, a to bez ohľadu na súperove ťahy. Ktorý z hráčov to je a prečo?

Okolo okrúhleho stola je v pravidelných rozostupoch rozostavených pätnásť stoličiek. Na stole sú kartičky s menami pätnástich hostí. Hostia si všimli kartičky až keď si už sadli. A tak sa stalo, že nikto z pätnástich hostí nesedel pred svojou vlastnou kartičkou. Dokážte, že je možné otočiť stôl tak, aby aspoň dvaja hostia sedeli na správnych miestach.

Koľko rôznych sedempísmenových „slov“ vieme vytvoriť z písmen $A$, $B$, $C$, $D$? „Slovo“ je ľubovoľný zhluk abecedne zoradených písmen - napríklad $AAAABBD$ je „slovo“ ale $AACCBDA$ nie je. „Slová“ sú rovnaké len vtedy, ak sa zhodujú písmená na všetkých ich pozíciách. V „slove“ nemusíme použiť každé zo štyroch písmen.