1. séria

Na zámku bola tabuľka $5\times 5$. Časť tabuľky bola už vopred vyplnená (obr. $2$). Tárajko musí doplniť tabuľku tak, aby v každom bielom políčku bol súčin príslušných čísel z dvoch sivých záhlaví v riadku a stĺpci (ako na obr. $1$). V sivých políčkach môžu byť iba prirodzené čísla. Pomôžte Tárajkovi nájsť všetky možné riešenia a zdôvodnite, že to inak nejde.

Tárajko vedel, že sitko je drahé, a teda jeho cena je dvojciferné číslo. Opýtal sa na ňu štyroch predavačov a tí mu povedali toto:

Tárajko vie, že práve jeden z nich klame. Určte správnu cenu a dokážte, že je jediná správna.

Starček priniesol tabuľku s napísanými číslami $1$, $2$, $3$, $\dots$, $100$. V každom kole zmazal dve z čísel a napísal namiesto nich ich súčet. Po čase v tabuľke ostalo päť po sebe idúcich čísel. Ktoré to boli? Svoje riešenie zdôvodnite.

Predavač mal štyri čajové vrecúška s viacerými druhmi čajov. V najľahšom je mätový čaj, v najťažšom je harmančekový čaj a zvyšné dve vrecúška majú rovnakú hmotnosť. Má aj rovnoramenné váhy, na ktorých vie vážiť vrecúška. Vrecúška sa vážia tak, že na každé rameno sa dá práve jedno vrecúško a porovná sa ich váha.

Na koľko najmenej vážení vie s určitosťou zistiť, kde je mätový a kde je harmančekový čaj, ak pri každom vážení musí byť na každom ramene váhy práve jedno čajové vrecúško? Zdôvodnite, prečo to na menej vážení nejde, a napíšte, ako ste postupovali.

Pred zámkom boli tri jazierka. Do prvého sa zmestí $96$ žubrienok, do druhého $104$ a do tretieho $144$. Každú noc sa v jazierku rozdelí každá žubrienka na dve. Ak je žubrienok veľa a nemôžu sa rozdeliť všetky, nerozdelí sa ani jedna. Tárajko má k dispozícii práve tri žubrienky na každé jazierko. Každú žubrienku môže ráno nasadiť do jazierka v deň, ktorý si zvolí. Žubrienky Tárajko nemôže z jazierok nikdy vyberať. Ako ich má postupne nasádzať do jazierok tak, aby boli čo najskôr všetky tri jazierka úplne zaplnené? Ktorý deň v poradí sa to stane? Prečo to nejde za menej dní?

Na gobelíne sú nakreslené dve rovnako veľké pretínajúce sa kružnice a okolo nich obdĺžnik $FGHI$ tak, že kružnice obdĺžnik nepretínajú, no každá má s ním tri spoločné body (ako na obrázku). Boli tam tiež vyznačené niektoré zaujímavé body -- stredy kružníc ako body $A$ a $C$ a priesečníky úsečky $AC$ s kružnicami ako body $D$ a $E$. Aký je súčet obsahov trojuholníkov $FDI$ a $FGE$, ak polomer kružnice je $10$ $cm$ a obsah obdĺžnika je $760$ $cm$2? Úlohu neriešte rysovaním.