2. séria

Máme tri príšery. Príšery s párnym počtom nôh vždy hovoria pravdu a príšery s nepárnym počtom nôh vždy klamú. Zazneli výroky:

Uzamknutie sa vypína zasunutím kombinácie kartičiek do terminálu. Máme kartičky s číslami od 1 do 8. Chceme nájsť štyri rôzne rozdelenia kartičiek do dvoch skupín tak, aby v oboch skupinách bol rovnaký súčet čísel na kartičkách a zároveň, aby počet kartičiek v skupinách bol rôzny (platí, že rozdelenie, kde by sme mali v prvej skupine kartičky $1,2,3$ a v druhej $4,5,6,7,8$, je to isté, ako keby sme mali v prvej skupine $4,5,6,7,8$ a v druhej $1,2,3$). Podarí sa nám to? Ak áno, ako? Ak nie, prečo?

Kľučka má body $P$, $Q$, $R$, $S$ ako na obrázku. Platí, že $|PQ|=|QR|$, uhol $PSR$ má 110 stupňov, úsečka $PR$ delí uhol $SPQ$ na dve rovnaké časti a uhol $SPR$ je štyrikrát menší ako uhol $PRS$. Aká je veľkosť uhla $PQR$?

Terminál na obrazovke mal tvar pyramídy ako na obrázku. Greg chce napísať čísla od 1 do 7 do krúžkov na obrázku (každé práve raz), tak, aby platilo, že súčet každých troch čísel na úsečke je rovnaký pre každú trojicu. Ktoré čísla môžu byť v hornom krúžku pri takomto vyplnení? Pre každé takéto číslo uveďte príklad vyplnenia. Vysvetlite, prečo ostatné čísla nemôžu byť v hornom krúžku.

Sam za sebou vždy ťahá čiaru a hýbe sa nasledovne: Povieme mu číslo a on ho vydelí štvorkou tak, že dostane celočíselný podiel a zvyšok. Ak mu ostane zvyšok 1, pohne sa o meter na sever, ak 2, tak na juh, ak 3, tak na východ a ak 0, tak na západ. Následne postup zopakuje s celočíselným podielom, ktorý mu ostal. Tento proces opakuje až kým raz nedostane podiel 0 (vtedy urobí posledný pohyb). Aké je najmenšie číslo také, že ak ho povieme Samovi, tak nakreslí svojou trasou štvorec so stranou 1 meter? Prečo to pre žiadne menšie nefunguje?

Na úsečke $AB$ so stredom $S$ vyrástlo 100 dvojíc tulipánov tak, že pre každú dvojicu leží bod $S$ uprostred. Platí, že 100 tulipánov vykvitlo na červeno a 100 na žlto. Dokážte, že súčet vzdialeností žltých tulipánov od bodu A je rovnaký ako súčet vzdialeností červených tulipánov od bodu B.