2. séria

Nakoniec si vyžobronili dokopy $3$ informácie, z ktorých musia poskladať kód pre druhého strážcu. Zistili, že kód je štvorciferné číslo, ktoré musí spĺňať tieto podmienky:

Oblačník Cassius je štvorec $ABCD$ so stranou dlhou $6$ $cm$. Body $E$, $F$ a $G$ ležia postupne na stranách $AB$, $BC$ a $CD$, pričom platí, že $2\cdot |EA|=|EB|$, $2\cdot |FB|=|FC|$ a $2\cdot |GC|=|GD|$. Cassius nadobudol tvar trojuholníka $EFG$. Určte obsah tohto trojuholníka.

Stretli 31 dedinčanov a medzi nimi si všimli $3$ skupiny - pravdovravci, klamári a premenliví. Pravdovravci vždy hovoria pravdu, klamári vždy klamú a premenliví si v prvej odpovedi vyberú, či hovoria pravdu alebo klamú a odvtedy to robia na striedačku. Chlapci sa najprv ale museli uistiť, kto je pravdovravec, klamár a premenlivý, takže sa ich všetkých spýtali $3$ otázky v tomto poradí: Na otázku „Si pravdovravec?“ dostali $22$ odpovedí áno. Na otázku „Si premenlivý?“ dostali $15$ odpovedí áno a na otázku „Si klamár?“ dostali $7$ odpovedí áno. Koľko je pravdovravcov, koľko klamárov a koľko premenlivých v Evalininej dedine?

Na stole je $20$ drahokamov. Dvaja hráči hrajú hru a striedajú sa v ťahoch. Hráč vo svojom ťahu musí zobrať aspoň $1$ a zároveň menej ako polovicu zo zostávajúcich drahokamov. Hráč, ktorý nemôže urobiť ťah podľa pravidiel, prehral. Pre ktorého z hráčov existuje výherná stratégia a aká? Výherná stratégia je postup, podľa ktorého, keď jeden hráč hrá, tak vyhrá bez ohľadu na ťahy súpera.

Máš $5$ kladných celých čísel. Keď ich sčítaš po dvoch všetkými možnými spôsobmi, vytvoríš $10$ čísel. Kráľovná mala nájsť také čísla, pre ktoré by tých $10$ čísel bolo po sebe idúcich. Hubert to skúšal, no nešlo to. Dokáž, že týchto $10$ čísel nemôže byť $10$ po sebe idúcich čísel.

Drahokam v tvare obdĺžnika je rozdelený na osemuholník a šesťuholník ako na obrázku (pozor, obrázok je iba názorný, jednotlivé dĺžky nezodpovedajú skutočnosti). Strany osemuholníka majú veľkosti $1,2,3,4,5,6,7$ a $8$ v nejakom poradí. Nájdite maximálny možný obsah šesťuholníka za týchto podmienok.