1. séria

Na lúke rastú tri druhy rastlín, z každého druhu je tam aspoň jedna. Modré rastliny majú vždy jeden kvet a dva listy. Žlté rastliny majú vždy dva kvety a jeden list. No a napokon červené rastliny majú tri kvety a tri listy. Robin napočítal spolu na lúke $24$ kvetov a $24$ listov. Jeho kamarát John ale napočítal $25$ kvetov a $25$ listov. Jeden z nich počítal správne. Kto to bol a prečo? Vysvetlite, prečo ten druhý nemohol mať pravdu.

Piati kamaráti Anica, Ellie, Robin, John a Zara sa rozprávali. Vieme, že chodia do dvoch tried (z každej triedy je aspoň jedno dieťa), teda sú to dve skupiny spolužiakov. Žiaci z jednej triedy vždy buď všetci klamú, alebo všetci hovoria pravdu. Povedali tieto výroky:

Na mape boli zaznačené $4$ mestá Aris, Blei, Caun a Dlin. Mestá Aris, Blei a Dlin ležia na jednej priamke, pričom mesto Dlin leží medzi mestami Aris a Blei. Mesto Caun na tejto priamke neleží. Vzdialenosť miest Aris a Caun je rovnaká ako vzdialenosť miest Caun a Dlin a miest Dlin a Blei. Uhol medzi cestami, ktoré vedú z mesta Caun do miest Dlin a Blei je $30$ stupňov. Ellie sa rozhodla všetko lepšie preskúmať, a tak sa vydala po ceste z mesta Caun do mesta Dlin, ale miesto toho, aby zastala v meste Dlin, pokračovala rovnakým smerom a prešla ešte raz toľko. Presne na mieste, kde zastala, našla studňu. Dokážte, že cesta spájajúca studňu s mestom Aris je rovnobežná s cestou spájajúcou mestá Blei a Caun. Všetky cesty na mape sú znázornené úsečkami.

Väzenie má tvar šachovnice s rozmermi $5\times 5$ a na nej jedno políčko ako vchod a jedno ako východ. Aby sa deti dostali von, musia prebehnúť cez šachovnicu, pričom vstúpia vchodom a chcú z nej vyjsť východom. Vždy sa vedia pohnúť len na jedno z políčok, ktoré s tým, na ktorom stoja, susedí hranou. Po vyjdení z políčka sa už do neho nemôžu znova vrátiť. Zistite cez koľko najviac políčok vedia prebehnúť, ak:

Na papier napísal $6$ modrých za sebou idúcich celých kladných čísel a $6$ žltých za sebou idúcich kladných čísel, pričom najmenšie modré číslo je menšie ako najmenšie žlté číslo. Potom napísal nových $36$ zelených čísel, ktoré vznikli tak, že medzi sebou vynásobí vždy jedno modré číslo s jedných žltým a prejde všetky možné kombinácie (medzi zelenými číslami sa nám môžu čísla aj opakovať). Vieme, že medzi zelenými číslami sa nachádza $49$, že žiadne zelené číslo nie je násobkom čísla $64$ a že medzi zelenými číslami existuje číslo, ktoré je väčšie ako $80$. Aké dvojice čísel môže dostať ako najmenšie modré a najmenšie žlté číslo? Nájdite všetky možnosti.

Toto námestie má tvar šesťuholníka. V každom vrchole šesťuholníka stojí dom s kladným celým číslom a medzi každými dvoma susednými domami je na chodníku napísaný súčet čísel týchto dvoch domov. Pre každé číslo od $1$ do $12$ platí, že sa na námestí nachádza práve raz, buď ako číslo domu alebo ako súčet napísaný na chodníku. Ukážte, že ak je vo vrcholoch na domoch napísaných najviac nepárnych čísel ako je celkovo možné, tak v jednom z vrcholov sa určite nachádza dom s číslom $3$.