2. séria

Na obrazci sú dva rovnostranné trojuholníky ako na obrázku. Aká je veľkosť uhla označeného ako $x$?

Tému uhlov ti môže priblížiť aj toto edukačné okienko.

Deti Anica, Ellie, Robin, John a Zara našli na námestí kamene. Keď si ich podávali a pozerali, zistili, že už nikto nedrží kameň, ktorý našiel. Platia $4$ tvrdenia:

Ukáže im mriežku $1\times 100$ políčok. V prvých dvoch políčkach sú položené dve mince. Hru hrajú dvaja hráči, pričom ťah vyzerá tak, že si hráč vyberie jednu z dvoch mincí a posunie ju o ľubovoľný počet políčok doprava. Pri posune nesmie minca preskočiť inú mincu a nesmie byť položená na políčko, kde je práve iná minca. Hra končí, keď sa mince nachádzajú v predposlednom a poslednom políčku mriežky. Vyhráva hráč, ktorý ako posledný urobil ťah. Pre ktorého z hráčov existuje výherná stratégia a aká? Výherná stratégia je postup, podľa ktorého, keď jeden hráč hrá, tak vyhrá bez ohľadu na ťahy súpera.

Štvorcová šachovnica s rozmermi $n\times n$ (teda so stranou dlhou $n$ políčok) je zafarbená tak, že každé políčko je buď červené, modré, alebo zelené. Nájdite najmenšie číslo $n$ také, že bez ohľadu na to, ako zafarbíme políčka šachovnice $n\times n$, tak v každom riadku a v každom stĺpci budú nejaké tri políčka rovnakej farby. Ukážte, prečo to pre toto $n$ bude vždy platiť. Tiež ukážte, že pre akékoľvek menšie $n$ vieme šachovnicu $n\times n$ ofarbiť tak, aby v žiadnom stĺpci a v žiadnom riadku neboli tri políčka rovnakej farby.

Štyri rovnostranné trojuholníky rovnakej veľkosti sú usporiadané vo vnútri väčšieho rovnostranného trojuholníka tak, ako je znázornené na obrázku (vrcholy vnútorného sivého trojuholníka ležia v stredoch strán rohových sivých trojuholníkov). Strany menších trojuholníkov sú rovnobežné so stranami väčšieho trojuholníka. Obsah väčšieho trojuholníka je $50$. Aký je obsah sivej časti?

Špeciálny výťah má tri trubice, v ktorých sú guľôčky. Po každej minúte z každej trubice jedna guľôčka zmizne a všetky tri zmiznuté guľôčky sa zjavia v niektorej z týchto trubíc. Ak v nejakej trubici už nie je žiadna guľôčka, objavia sa v každej trubici dve nové guľôčky. Môže nastať situácia, kedy bude vo všetkých troch trubiciach rovnako veľa guľôčok, ak sú na začiatku v trubiciach počty $15$, $20$ a $25$ guľôčok?