1. séria

Ovečky boli na turnaji, kde hrali niekoľko zápasov. Každý zápas hrali dve ovečky, z ktorých jedna vyhrala a druhá prehrala. Každá ovečka, ktorá dvakrát prehrala, bola z turnaja vyradená. Po $45.$ zápase zvýšila už len jediná ovečka, ktorá sa teda stala vı́ťazkou. Zistite, či mohla vı́ťazná ovečka prejsť celým turnajom bez prehry a určte, koľko bolo ovečiek v turnaji. Svoju odpoveď zdôvodnite.

Kravičky sú poctivé a vždy hovoria len pravdu, avšak mačičky sú prefíkané, a tak vždy klamú. Vieme, že všetkých spolu je dokopy $10$ a že sedia v kruhu tak, že každé zvieratko vidí $9$ ďalších. Päť z nich vyhlási:

V súhvezdí tvaru obdĺžnika $ABCD$ so stranou $AD$ dĺžky $5$ leží bod $P$ tak, že trojuholník $APD$ je rovnostranný. Keď si predĺžime úsečku $AP$, tak pretne stranu $CD$ v bode $E$, pričom úsečka $CE$ meria $5$. Určte, aká dlhá je úsečka $AE$ a aká je veľkosť uhla $AEB$.

S touto úlohou vám môže pomôcť edukačné okienko.

Martin a Štyri hrajú hru, v ktorej sa striedajú v ťahoch počnúc Martinom. Vytvoria kruh so $123$ ďalšími vedúcimi a v každom ťahu musí hráč poslať von z kruhu práve jedného zo svojich susedov vľavo alebo vpravo. Vyhrá ten, kto pošle toho druhého von z kruhu. Pre ktorého z hráčov existuje výherná stratégia a aká? Výherná stratégia je postup, podľa ktorého, keď jeden hráč hrá, tak vyhrá bez ohľadu na ťahy súpera.

Veža má tvar osemuholníka, ktorého uhly sú všetky tupé (majú viac ako $90^{\circ }$ a zároveň menej ako $180^{\circ }$) a žiadne dva nie sú rovnako veľké. Navyše platí, že veľkosť každého z uhlov je násobkom $9$. Určte veľkosti všetkých uhlov.

S touto úlohou vám môže pomôcť edukačné okienko.

Na zámku bola vyrytá číselná os s číslami a na nej spomedzi všetkých čísel vyznačených $15$ z nich: $1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,8192,$ $16384$. Na otvorenie dverí je potrebné označiť také číslo, ktoré malo najmenší súčet vzdialeností od všetkých $15$ zvýraznených čísel. Ktoré to je číslo?