1. séria

Štyria mušketieri Aramis, Bathos, Corthos a D'Artagnan stoja na štvorcovom námestí vydláždenom ako na obrázku. Každý z nich stojí sám na jednej dlaždici. Povedali nasledovné výroky:

Cez rieku bola vytvorená cestička z kameňov v tvare štvorcov a kruhov, ako na obrázku. Tabuľka pri brehu mu povedala, že na to, aby cez rieku prešiel, musí do kamienkov zapísať čísla $1$, $2$, $4$, $5$, $6$, $9$, $10$, $11$ a $13$, každé práve raz. Číslo v každom kruhovom kamienku sa rovná súčtu čísel v jeho dvoch susedných štvorcových kamienkoch. Aký je najväčší možný súčet čísel v dvoch štvorcových kamienkoch na kraji? Vysvetlite, prečo sa väčší súčet nedá dosiahnuť.

Čiapočka a Vlk majú každý svoj košík o kapacite štyroch klobás. Vkladajú do ľubovoľného z nich klobásy očíslované číslami $1$ až $8$, každú práve raz, až kým nebudú oba zaplnené. Čiapočka začína a v ťahoch sa striedajú, pričom Čiapočka vyhrá, ak bude väčší súčin čísel klobás v jej košíku. Vlk vyhrá, ak bude väčší súčin čísel klobás v jeho košíku. Pre ktorého z hráčov existuje výherná stratégia, a aká? Výherná stratégia je postup, podľa ktorého ak hráč hrá, tak vyhrá bez ohľadu na ťahy súpera.

Domček spadol a vyvrátil sa na bok. Vnútri štvorca sa nachádza pravidelný päťuholník, ktorý zdieľa stranu s rovnostranným trojuholníkom ako na obrázku. Vypočítajte veľkosť vyznačeného uhla.

Kráľ Drozdia brada a Pyšná princezná majú v záhrade na stole $10$ dukátov s číslami od $1$ po $10$, každý z nich je buď strieborný alebo zlatý. Dukát s číslom $5$ je zlatý a aspoň jeden iný dukát je strieborný. Ak sú dva dukáty vyrobené z rôznych kovov, tak potom bude platiť, že dukát s ich súčtom je strieborný a s ich súčinom je zlatý. Akej farby sú jednotlivé dukáty? Nájdite všetky možnosti a ukážte, že žiadne iné neexistujú.

V kruhu stál párny počet bratov. Jednému z nich sa magicky vo vrecku zjavila zlatá minca. Polovica z bratov nato povedala: „Mincu mám vo vrecku ja alebo jeden z mojich susedov.“ Druhá polovica bratov povedala: „Mincu nemám vo vrecku ani ja, ani žiaden z mojich susedov.“ Koľko mohlo byť dokopy bratov, ak práve dvaja z nich klamali? Nájdite všetky možnosti a ukážte, že žiadne iné neexistujú.