2. séria

Hviezda mala tvar dvoch prekrývajúcich sa trojuholníkov ako na obrázku. V trojuholníku $ABC$ má uhol $CAB$ veľkosť $30°$ a uhol $ACB$ veľkosť $90°$. Strany trojuholníka $DEF$ vytvorili tri trojuholníky vnútri trojuholníka $ABC$. Tieto trojuholníky sú rovnoramenné, pričom ich základne sú časti strán trojuholníka $DEF$ vnútri trojuholníka $ABC$, a ich vrcholy oproti základniam sú vrcholy $A$, $B$ a $C$. Aké sú veľkosti uhlov v trojuholníku $DEF$?

Rybička povedala Ozzymu svoju úlohu. Päťciferné číslo $\overline{PQRST}$ sa skladá z cifier $1$, $2$, $3$, $4$, $5$. Trojciferné číslo $\overline{PQR}$ je násobkom čísla $4$, $\overline{QRS}$ násobkom čísla $5$, $\overline{RST}$ je násobkom čísla $3$. Nájdite všetky možnosti aké môže byť číslo $\overline{PQRST}$ a ukážte, že žiadna iná možnosť neexistuje.

Mapa mala tvar obdĺžnikového papiera a na nej boli nakreslené $4$ cesty ako $4$ čiary $A,B,C$ a $D$, ktoré sú rovnobežné so stranou obdĺžnika tak, ako na obrázku. Vieme, že platí:

Ak budeme postupovať, ako odporučil Pinnochio a tento papier rozstrihneme pozdĺž čiarkovanej čiary, ktorá je rovnobežná so stranou papiera, tak platí, že súčet dĺžok čiar na oboch rozstrihnutých častiach papiera bude rovnaký. Na aké dlhé časti rozdelí rez čiaru $A$? Nájdite všetky možnosti a ukážte, že žiadne iné neexistujú.

Mama koza odišla na nákupy a ostatných šesť kozliatok išlo do školy. Týchto šesť kozliatok sa potom postupne vracia zo školy domov v nejakom poradí. Vieme o nich toto:

Pritom ako postavili vojačikov do radu, tak sa na zem vedľa seba otlačilo niekoľko celých čísel. Súčet každých $7$ vedľa seba napísaných čísel je párne číslo. Súčet každých $8$ vedľa seba napísaných čísel je nepárne číslo. Koľko najviac čísel môže byť takto napísaných?

Portál je zložený zo štyroch zhodných pravidelných šesťuholníkov, ktoré sa dotýkajú ako na obrázku. Pri portáli stála tabuľka s finálnou otázkou. Koľkokrát väčší je obsah sivého štvoruholníka tvoreného ich stredmi ako obsah jedného šesťuholníka?