2. séria

Kúzelník napísal štyri vety:

Koľko z napísaných viet môže byť nepravdivých? Nájdite všetky možnosti a vysvetlite, prečo žiadny iný počet nepravdivých viet nie je možný.

Kúzelník mal kartičky s ciframi $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, každú práve raz. Z týchto kartičiek poskladal tri rôzne prvočísla so súčtom $100$. Nájdite všetky možnosti, aké môžu byť tieto trojice, a ukážte, že iné možnosti nie sú.

Kráľ a kráľovná hrajú hru. Na začiatku majú na stole jednu obdĺžnikovú tabuľku čokolády ľubovoľných rozmerov, ktorá je rozdelená mriežkou na štvorčeky. Striedajú sa v ťahoch, pričom začína kráľ. V jednom ťahu môže hráč buď zjesť jednu celú tabuľku čokolády, ktorá je práve na stole, alebo jednu z tabuliek rozlomiť na dve časti jedným rovným lomom pozdĺž mriežky. Hráč, ktorý zje poslednú tabuľku zo stola, prehráva. Môže jeden z nich vyhrať bez ohľadu na to, ako hrá ten druhý? Ako?

Princezné idú na výpravu medzi krajinami za kúzelníkom (na obrázku označenými písmenkami $Z$, $A$, $B$, $C$, $D$, $E$). Z krajiny môžu ďalej ísť iba do krajín, ku ktorým vedie šípka. Začínajú s prázdnym pasom. Pri prechode z krajiny do krajiny vždy dostanú do svojho pasu na koniec radu príslušnú pečiatku $◯$ alebo $■$. V rámci svojej výpravy môžu prejsť ľubovoľnou cestou cez krajiny, výprava začína aj končí v krajine $Z$. Každú z krajín môžu navštíviť ľubovoľný počet krát.

　a) Mohli sa princezné z výpravy vrátiť s pasom s pečiatkami $◯$ $■$ $◯$ $■$ $◯$ alebo $◯$ $◯$ $◯$ $■$ $■$ $■$?

　b) Princezné sa vrátili z výpravy a v pase mali na striedačku pečiatky $◯$ $■$ $◯$ $■$... Aké počty takýchto dvojíc $◯■$ mohli v pase mať a aké nemohli? Prečo?

　c) Nájdite pravidlo, podľa ktorého môžeme jednoznačne určiť, či rad pečiatok mohol byť v pase na konci výpravy, alebo nie.

Pole má tvar štvorca $ABCD$, v ktorom sú body $E$ a $G$ postupne stredy strán $AB$ a $CD$ a bod $F$ leží na strane $BC$. Priesečník úsečiek $EG$ a $DF$ nazvime $H$. Akú časť celého štvorca $ABCD$ tvorí súčet obsahov trojuholníkov $DGH$ a $EFH$? Nezabudnite ukázať, že nezáleží na konkrétnom umiestnení bodu $F$.

Kúzelníci v kruhu majú čísla od $1$ do $200$. Pre akékoľvek číslo platí nasledovné: ak sa pozrieme na $99$ čísel v smere hodinových ručičiek a $99$ čísel proti smeru hodinových ručičiek, obe skupiny budú obsahovať rovnaký počet čísel menších ako toto číslo. Aké číslo bude mať kúzelník, ktorí sa nachádza oproti kúzelníkovi s číslom $113$?