1. séria

V trojuholníku $ABC$ os uhla $ABC$ pretína $AC$ v bode $D$. Rovnobežka s $BC$ vedená bodom $D$ pretína $AB$ v bode $E$. Platí, že strany $AB$ a $BC$ sú v pomere $2:1$. V akom pomere delí $E$ úsečku $AB$?

Dokážte, že súčin troch po sebe idúcich kladných celých čísel nemôže byť treťou mocninou kladného celého čísla.

Obec je súvislý útvar zložený zo štvorcov rovnakej veľkosti, ktoré navzájom susedia hranou. Na obrázku pod úlohou je uvedené, ako napríklad by mohla vyzerať obec zložená z ôsmich štvorcov.

Mestom nazveme takú obec, ktorá sa skladá z aspoň $2026$ štvorcov. Nedeliteľné mesto je také, ktoré sa nedá rozdeliť na dve alebo viacero miest. Aký je maximálny počet štvorcov, z ktorých sa môže skladať nedeliteľné mesto?

Pre aké najmenšie celé číslo $n>1$ existuje kladné celé číslo $m$ také, že číslo $m^{1000}+n^{1000}+n$ je deliteľné číslom $mn$?

Na tabuli je napísaných $n$ núl v jednom riadku. Hráme hru. V každom ťahu zotrieme jednu z cifier na tabuli a nahradíme ju inou cifrou na tom istom mieste. Dodržiavame pritom tieto obmedzenia:

Určte, na koľko najmenej ťahov môžeme dosiahnuť stav, že na tabuli budú napísané samé jednotky.

Nájdite všetky funkcie $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ také, že pre všetky $a,b\in \mathbb{Z}$ platí: