2. séria

Kopy vybral $5$ deliteľov čísla $6^{2027}$. Dokážte, že Oliver vie z nich vybrať dva, ktorých súčin je druhou mocninou celého čísla.

Iľo napísal na tabuľu reálne číslo. Potom postupne ku každému číslu $x$ na tabuli napísal čísla $1-x$ a $\frac{1}{x}$, pokiaľ sú definované a ešte na tabuli neboli napísané. Skončil, keď už nebolo aké nové čísla napísať. Koľko čísel mohlo byť na konci na tabuli? Určte všetky možnosti.

V rovine je daných $220$ priamok vo všeobecnej polohe (teda takých, že žiadne tri neprechádzajú tým istým bodom a žiadne dve nie sú rovnobežné). Tieto priamky rozdelia rovinu na oblasti. Vzdialenosť medzi dvoma oblasťami definujeme ako najmenší počet priamok, ktorý musíme prekročiť, aby sme sa dostali z jednej oblasti do druhej (cez priesečníky sa nedá prechádzať). Oblasť nazveme zvedavou, ak jej vzdialenosť od každej inej oblasti je menšia ako $220$. Určte všetky možné počty zvedavých oblastí.

Evka na tabuľu napísala červenou fixkou $100$ rôznych kladných celých čísel. Potom pod každé číslo napísala zelenou fixkou to isté číslo, ale zvýšené o najväčšieho spoločného deliteľa zvyšných $99$ červených čísel. Určte, koľko najviac rovnakých zelených čísel mohla Evka napísať.

Dokážte, že ak funkcia $f:{\mathbb{Z}}^{+}\to {\mathbb{Z}}^{+}$ spĺňa nasledujúce dve podmienky, tak je $f$ ohraničená zhora, teda existuje číslo, ktoré hodnoty funkcie $f$ v žiadnom bode nepresiahnu.

Nech $ABC$ je trojuholník s $|\angle BAC|=120^{\circ }$ a $|\angle ABC|=40^{\circ }$. Ďalej $I$ je stred kružnice vpísanej trojuholníku $ABC$. Priesečník priamok $AI$ a $BC$ označme $D$ a priesčník $BI$ s $AC$ označme $E$. Bod $N$ je taký, že $|NE|=|ND|$ a $|\angle END|=120^{\circ }$, pričom $N$ a $A$ ležia v opačných polrovinách podľa priamky $DE$. Nech $\omega$ je kružnica so stredom $N$ a polomerom $|ND|$. Dotykové body dotyčníc vedených z bodu $B$ na kružnicu $\omega$ označme $P$ a $Q$. Dokážte, že priamky $PQ$, $DE$ a $CI$ sa pretínajú v jednom bode.