V trojuholníku $ABC$ os uhla $ABC$ pretína $AC$ v bode $D$. Rovnobežka s $BC$ vedená bodom $D$ pretína $AB$ v bode $E$. Platí, že strany $AB$ a $BC$ sú v pomere $2:1$. V akom pomere delí $E$ úsečku $AB$?

Dokážte, že súčin troch po sebe idúcich kladných celých čísel nemôže byť treťou mocninou kladného celého čísla.

*Obec* je súvislý útvar zložený zo štvorcov rovnakej veľkosti, ktoré navzájom susedia hranou. Na obrázku pod úlohou je uvedené, ako by napríklad mohla vyzerať *obec* zložená z ôsmich štvorcov.

*Mestom* nazveme takú *obec*, ktorá sa skladá z aspoň $2026$ štvorcov. *Nedeliteľné mesto* je také, ktoré sa nedá rozdeliť na dve alebo viacero *miest*. Aký je maximálny počet štvorcov, z ktorých sa môže skladať *nedeliteľné mesto*?

Pre aké najmenšie celé číslo $n>1$ existuje kladné celé číslo $m$ také, že číslo $m^{1000}+n^{1000}+n$ je deliteľné číslom $mn$?

Na tabuli je napísaných $n$ núl v jednom riadku. Hráme hru. V každom ťahu zotrieme jednu z cifier na tabuli a nahradíme ju inou cifrou na tom istom mieste. Dodržiavame pritom tieto obmedzenia:

+ Píšeme iba cifry $0$, $1$ a $2$.
+ Rozdiel napísanej a zotretej cifry musí byť $1$.
+ Cifru nemožno zotrieť, ak sa niekde napravo od nej nachádza rovnaká cifra.
+ Nemožno napísať takú cifru, ktorá sa už nachádza niekde napravo od práve zotretej cifry.

Určte, na koľko najmenej ťahov môžeme dosiahnuť stav, že na tabuli budú napísané samé jednotky.

Nájdite všetky funkcie $f: \mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ také, že pre všetky $a,b\in\mathbb{Z}$ platí:  
\[
f(a+b)+f(ab-1)=f(a)f(b)+2.
\]

Dôvera

Eset

Nadácia Eset

Ness

UPJS

Wincent

Kopy vybral päť deliteľov čísla $6^{2027}$. Dokážte, že Oliver vie z nich vybrať dva, ktorých súčin je druhou mocninou celého čísla.

Iľo napísal na tabuľu reálne číslo. Potom postupne ku každému číslu $x$ na tabuli napísal čísla $1-x$ a $\dfrac{1}{x}$, pokiaľ sú definované a ešte na tabuli neboli napísané. Skončil, keď už nebolo možné napísať žiadne nové číslo. Koľko čísel mohlo byť na konci na tabuli? Určte všetky možnosti.

V rovine je daných $220$ priamok vo všeobecnej polohe (teda takých, že žiadne tri neprechádzajú tým istým bodom a žiadne dve nie sú rovnobežné). Tieto priamky rozdelia rovinu na oblasti. Vzdialenosť medzi dvoma oblasťami definujeme ako najmenší počet priamok, ktorý musíme prekročiť, aby sme sa dostali z jednej oblasti do druhej (cez priesečníky sa nedá prechádzať). Oblasť nazveme *zvedavou*, ak jej vzdialenosť od každej inej oblasti je menšia ako $220$. Určte všetky možné počty *zvedavých* oblastí.

Evka na tabuľu napísala červenou fixkou $100$ rôznych kladných celých čísel. Potom pod každé číslo napísala zelenou fixkou to isté číslo, ale zväčšené o najväčšieho spoločného deliteľa zvyšných $99$ červených čísel. Určte, koľko najviac rovnakých zelených čísel mohla Evka napísať.

Dokážte, že ak funkcia $f: \mathbb{Z^+} \rightarrow \mathbb{Z^+}$ spĺňa nasledujúce dve podmienky, potom je $f$ ohraničená zhora, teda existuje číslo, ktoré nepresiahne žiadna hodnota funkcie $f$.

+ Pre ľubovoľné kladné celé číslo $n$ platí, že $f(n)$ delí $n+2026$.
+ Pre ľubovoľné kladné celé čísla $a>b$ platí, že $f(a)$ delí $f(ab)$.

Nech $ABC$ je trojuholník s $|\angle BAC |=120\text{\textdegree}$ a $|\angle ABC|=40\text{\textdegree}$. Ďalej $I$ je stred kružnice vpísanej trojuholníku $ABC$. Priesečník priamok $AI$ a $BC$ označme $D$ a priesečník $BI$ s $AC$ označme $E$. Bod $N$ je taký, že $|NE|=|ND|$ a $|\angle END|=120\text{\textdegree}$, pričom $N$&nbsp;a $A$ ležia v opačných polrovinách určených priamkou $DE$. Nech $\omega$ je kružnica so stredom $N$&nbsp;a polomerom $|ND|$. Dotykové body dotyčníc vedených z bodu $B$ na kružnicu $\omega$ označme $P$ a $Q$. Dokážte, že priamky $PQ$, $DE$ a&nbsp;$CI$ sa pretínajú v&nbsp;jednom bode.

51. ročník - zimný semester

2. séria

1. ÚLOHA

2. ÚLOHA

3. ÚLOHA

4. ÚLOHA

5. ÚLOHA

6. ÚLOHA