2. séria

Na obrázku je štvorec, v ktorom sa nachádzajú $3$ schody, ktoré mali tvar rovnakých rovnoramenných trojuholníkov. Strany štvorca, ktoré zvierajú uhol hore vpravo, sú steny veže. Aký veľký je uhol medzi bočným schodom a stenou veže?

Kúzelník má v krabičke $3$ kartičky, na každej z nich je iná cifra v rozmedzí od $1$ po $9$. Súčet dvoch najmenších dvojciferných čísel, ktoré sa z kartičiek dajú poskladať, je $75$, súčet dvoch najväčších je $170$. Zistite, aké cifry má kúzelník na kartách.

V turnaji súťažilo $6$ tímov a každý tím odohral $2$ zápasy s každým iným tímom. Za výhru získal tím $3$ body, za remízu $1$ bod a za prehru $0$ bodov. Prvé $3$ tímy mali rovnako veľa bodov. Aký je najvyšší možný počet, ktorý mohli tieto prvé tri tímy získať? Zdôvodnite, prečo nemohli získať viac bodov.

Kúzelník má $2$ trezory. Na trezoroch je špeciálny číselný zámok, ktorý sa skladá z otáčateľných kruhových pásov s číslami. Zámok sa otvorí, ak budú čísla usporiadané v šiestich stĺpcoch smerom od stredu a v každom stĺpci bude súčet čísel rovnaký. Dajú sa trezory nižšie otvoriť?

Na stole sú $4$ krabice s loptičkami, v každej je na začiatku $10$ loptičiek. Zároveň máme pri stole bazén s neobmedzeným množstvom loptičiek. V každom ťahu môžeme urobiť jeden z troch krokov, ak je možné taký krok urobiť:

V kruhu leží niekoľko mincí (viac ako $2$), pričom na začiatku žiadna dvojica susedných mincí nie je otočená rovnako. Ricardo a Hernan sa striedajú v ťahoch. Ten, čo je na rade, musí otočiť súvislý úsek mincí otočených rovnakou stranou nahor susediaci s mincami otočenými naopak. Prehráva ten, po ktorého ťahu sú všetky mince otočené rovnako. Ricardo vyberá, kto bude začínať. Ako si má Ricardo v závislosti od počtu mincí vybrať, aby bez ohľadu na Hernanove ťahy vždy vyhral?

Dodatok pre lepšiu predstavu: Ak by sme mali $10$ mincí rozložených ako na obrázku, potom ten, kto je na ťahu, môže otočiť buď mince $0$, $1$, $2$, $3$, alebo iba mincu $4$, alebo mince $5$ a $6$, alebo mince $7$, $8$ a $9$.