2. séria

Na vizitke bolo štvorciferné číslo, ktorého všetky cifry sú rôzne. Vieme, že prvá cifra je dvakrát väčšia ako druhá, ale dvakrát menšia ako tretia. Zároveň platí, že štvrtá cifra je rovná súčtu nejakých dvoch iných cifier. Nájdite všetky čísla, ktoré spĺňajú podmienky, a ukážte, že sú to všetky.

Mesto Balíkov nad Listom má pôdorys v podobe tabuľky ako na obrázku, kde v každom políčku je uvedená nadmorská výška, v ktorej sa dom nachádza. Súčet nadmorských výšok domov v každom stĺpci je rovnaký. Súčet nadmorských výšok domov je v každom riadku tiež rovnaký (nie nutne taký ako v stĺpci). V akej nadmorskej výške bude dom na políčku s otáznikom? Nájdite všetky možnosti a svoju odpoveď zdôvodnite.

Vrátnik Zavináč zbiera cukríky vo farebných obaloch. Má na ne $10$ škatuliek, pričom v každej z nich je nejaký nenulový počet cukríkov a neexistujú dve škatuľky, v ktorých by ich bolo rovnako veľa. Navyše ani v jednej škatuľke nie sú dva cukríky s rovnakým farebným obalom. Ukážte, že Arnošt vie vybrať $10$ cukríkov, z každej škatuľky jeden, tak, že nebude mať dva cukríky s rovnakým farebným obalom.

Za okrúhlym stolom sedia Apač, Cordélia, Ingrid a Medard. Apač vždy hovorí pravdu, Cordélia vždy klame. Ingrid hovorí pravdu, ak tesne pred ňou niekto klamal, a klame, ak niekto tesne pred ňou povedal pravdu. A naopak Medard hovorí pravdu, ak tesne pred ním niekto povedal pravdu, a klame, ak tesne pred ním niekto klamal. Ak Ingrid hovorí ako prvá, tak klame, a ak ako prvý hovorí Medard, tak hovorí pravdu. Pri stole, kde sedeli deti ako na obrázku, prebehol tento rozhovor:

Máme štvorcovú tabuľku $5\times 5$, v ktorej zafarbujeme políčka. Aký najmenší počet políčok nám stačí zafarbiť, aby platilo, že každý obdĺžnik s rozmermi $1\times 4$ alebo $4\times 1$ v tabuľke má aspoň jedno políčko zafarbené? Nakreslite jedno vyhovujúce zafarbenie pre tento najmenší počet políčok a vysvetlite, prečo menej zafarbených políčok nestačí.

Majme pravidelný šesťuholník a v ňom vpísané dva rovnostranné trojuholníky ako na obrázku. Určte, koľkokrát je obsah sivej časti menší ako obsah celého šesťuholníka.