Nájdite všetky prirodzené čísla $k$, pre ktoré medzi desiatimi po sebe idúcimi číslami
$$k + 1, k + 2, \dots , k + 10$$ je najviac prvočísel ako môže byť.

Zostrojte bod $M$ vnútri daného trojuholníka $ABC$ tak, aby $S_{ABM} : S_{BCM} : S_{ACM} = 1 : 2 : 3$.

V Kráľovstve leteckom je $m$ miest, v každom jedno letisko. Medzi niektorými mestami existujú letecké linky, medzi niektorými nie. Inak ako lietadlami sa tu nedá prepravovať. Ďalej tu platia dve zvláštnosti. Ak by ste zrušili hociktorú linku, stále sa bude dať z každého mesta dostať do každého. Ak by ste však zrušili ľubovoľné dve linky, prestalo by to platiť. Koľko je v Kráľovstve leteckom leteckých liniek?

Dokážte, že pre každé prirodzené číslo $n$ je číslo zapísané v desiatkovej sústave $3^n$ rovnakými číslicami deliteľné číslom $3^n$.

Zistite, či existujú také reálne čísla $b$, $c$, že obidve kvadratické rovnice s neznámou $x$, resp. $y$ $$x^2 + bx + c = 0,$$ $$2y^2 + (b + 1)y + c + 1 = 0$$ majú dva celočíselné korene. Svoju odpoveď zdôvodnite.

Dané sú štyri navzájom rôznobežné priamky v rovine, z ktorých žiadne tri neprechádzajú tým istým bodom. Tieto priamky určujú štyri trojuholníky.

1. Dokážte, že kružnice opísané týmto štyrom trojuholníkom prechádzajú spoločným bodom $X$.
2. Dokážte, že stredy kružníc opísaných týmto trojuholníkom ležia na kružnici prechádzajúcej bodom $X$.

Daných je päť bodov $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$, $P_5$ vo vnútri štvorca so stranou dĺžky $1$. Dokážte, že aspoň jedna zo všetkých vzdialeností týchto bodov je menšia ako $\sqrt{2}/2$.

Pre ktoré $n \ge 3$ existuje $n$ navzájom rôznych prirodzených čísel takých, že sa dajú usporiadať do kruhu tak, aby podiel každých dvoch susedných čísel (väčšie delené menším) bol prvočíslo? Nájdite všetky takéto $n$ a ukážte, prečo iné nevyhovujú.

Na tanečnom večierku boli chlapci a dievčatá. Každý chlapec tancoval s aspoň jedným dievčaťom, ale nie so všetkými. Každé dievča tancovalo s aspoň jedným chlapcom, ale nie so všetkými. Dokážte, že sa vždy dajú vybrať dvaja chlapci a dve dievčatá tak, že každý z vybratých chlapcov tancoval s práve jedným z vybratých dievčat a každé z vybratých dievčat tancovalo s práve jedným z vybratých chlapcov.

Daná je kružnica $k$ a jej tetiva $AB$.

1. Nájdite na kružnici bod $C$ taký, že obsah trojuholníka $ABC$ je maximálny.
2. Nájdite na kružnici bod $D$ taký, že obvod trojuholníka $ABD$ je maximálny.
3. Nájdite trojuholník $XYZ$, ktorý je vpísaný do kružnice $k$ a má najväčší možný obvod.

Každá strana konvexného štvoruholníka je rozdelená na osem zhodných úsečiek. Spojíme príslušné body na protiľahlých stranách a vznikne šachovnica. Políčka vyfarbíme ako na skutočnej šachovnici. Dokážte, že čierna a biela plocha majú rovnaký obsah.

Nech pre $f : R → R$ platí $f(0) = 1/2$ a zároveň pre nejaké reálne číslo $a$ platí $f(x + y) = f(x) · f(a − y) + f(y) · f(a − x)$ pre všetky reálne $x$, $y$. Dokážte, že $f$ je konštantná funkcia.