Majme dve periodické postupnosti s periódami 7 a 13 (perióda \(p\) postupnosti \(a_1\), \(a_2\), \( \dots \) je najmenšie \(p\), pre ktoré platí \(a_n = a_{n+p}\) pre všetky kladné celé \(n\)). Akú najväčšiu dĺžku môže mať začiatočný úsek, v ktorom sa budú obe postupnosti zhodovať?

Nech \(PQRS\) je štvoruholník, ktorého uhlopriečky sa pretínajú v jeho vnútornom bode \(X\). Ukážte, že strany \(PQ\) a \(RS\) majú rovnakú dĺžku práve vtedy, keď majú kružnice opísané trojuholníkom \(PQX\) a \(RSX\) rovnaký polomer.

Na stole je \(7\) kôpok po \(2024\) kameňov. Bia a Šmili hrajú hru, pričom Bia začína. Každý ťah si hráč vyberie jednu kôpku a zvyšné kôpky vyhodí z hry. Potom túto zvolenú kôpku rozdelí na \(2\) až \(7\) neprázdnych kôpok. Hráč prehráva, ak nevie spraviť ťah. Má niektorý z hráčov víťaznú stratégiu? Ak nie, prečo? Ak áno, akú?

Majme postupnosť celých čísel \(1\) až \(2024\) v neznámom poradí. V každom kroku vezmeme \(k\) prvých členov, kde \(k\) je prvý člen postupnosti, a obrátime im poradie. Dokážte, že po niekoľkých operáciách sa na prvé miesto dostane číslo \(1\).

Nájdite všetky funkcie \(f\) na kladných reálnych číslach také, že pre každé kladné reálne \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) spĺňajúce \(abcd = 1\) platí \[ (f(a) + f(b))(f(c) + f(d)) = (a + b)(c + d). \]

Nech \(ABC\) je ostrouhlý trojuholník, kde \(AB\) je najmenšia strana a \(D\) je stred \(AB\). Nech \(P\) je bod vo vnútri trojuholníka \(ABC\) taký, že \(|\angle CAP| = |\angle CBP| = |\angle ACB|\). Z bodu \(P\) veďme kolmé čiary na \(BC\) a \(AC\), priesečník s \(BC\) označme \(M\) a priesečník s \(AC\) označme \(N\). Cez bod \(M\) veďme priamku rovnobežnú s \(AC\) a cez bod \(N\) priamku rovnobežnú s \(BC\). Tieto priamky sa pretínajú v bode \(K\). Dokážte, že \(D\) je stred kružnice opísanej trojuholníku \(MNK\).

Číslo nazývame \(k\)-rásne, ak ho vieme zapísať ako súčet \(k\) po sebe idúcich kladných celých čísel (napríklad číslo 9 je 2-rásne, pretože \(9=4+5\), a zároveň je 3-rásne, pretože \(9=2+3+4\)).

1. Koľko čísel z množiny \(\{1,2,3, \dots ,2024\}\) je naraz 3-rásnych, 4-rásnych a 5-rásnych?
2. Existujú nejaké kladné celé čísla, ktoré sú naraz 3-rásne, 4-rásne, 5-rásne a 6-rásne?

Číslo nazývame \(k\)-rásne, ak ho vieme zapísať ako súčet \(k\) po sebe idúcich kladných celých čísel (napríklad číslo 9 je 2-rásne, pretože \(9=4+5\), a zároveň je 3-rásne, pretože \(9=2+3+4\)).

1. Koľko čísel z množiny \(\{1,2,3, \dots ,2024\}\) je naraz 3-rásnych, 4-rásnych a 5-rásnych?
2. Existujú nejaké kladné celé čísla, ktoré sú naraz 3-rásne, 4-rásne, 5-rásne a 6-rásne?

Majme postupnosť kladných celých čísel \(a_1 < a_2 < a_3 < \dots \) Pre všetky kladné celé \(k\) platí \(a_{a_k} = 3k\).

1. Určte \(a_{1000}\).
2. Určte \(a_{2024}\).

Majme postupnosť kladných celých čísel \(a_1 < a_2 < a_3 < \dots \) Pre všetky kladné celé \(k\) platí \(a_{a_k} = 3k\).

1. Určte \(a_{1000}\).
2. Určte \(a_{2024}\).

Nech \(S\) je podmnožina množiny \(M=\{1, 2, \dots ,100\}\). Dokážte, že v \(S\) existujú tri rôzne dvojice čísel s rovnakým rozdielom, ak \(S\) má

1. 21 prvkov,
2. 20 prvkov,
3. 19 prvkov.

Nech \(S\) je podmnožina množiny \(M=\{1, 2, \dots ,100\}\). Dokážte, že v \(S\) existujú tri rôzne dvojice čísel s rovnakým rozdielom, ak \(S\) má

1. 21 prvkov,
2. 20 prvkov,
3. 19 prvkov.

Nech \(D\), \(E\) sú body na strane \(AB\) trojuholníka \(ABC\) také, že \[\frac{|AD|\cdot|AE|}{|BD|\cdot|BE|} = \left(\frac{|AC|}{|BC|}\right)^2.\] Ukážte, že uhly \(ACD\) a \(BCE\) sú zhodné.

Nech \(D\), \(E\) sú body na strane \(AB\) trojuholníka \(ABC\) také, že \[\frac{|AD|\cdot|AE|}{|BD|\cdot|BE|} = \left(\frac{|AC|}{|BC|}\right)^2.\] Ukážte, že uhly \(ACD\) a \(BCE\) sú zhodné.

Nájdite všetky prvočísla \(p\), pre ktoré existuje kladné celé číslo \(a\) také, že platí \[ \left\lfloor \frac{a}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2a}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{3a}{p} \right\rfloor + \dots + \left\lfloor \frac{pa}{p} \right\rfloor = 2024. \] Pozn.: Hodnota \(\left\lfloor x \right\rfloor\) sa rovná najväčšiemu celému číslu, ktoré nie je väčšie ako \(x\).

Nájdite všetky prvočísla \(p\), pre ktoré existuje kladné celé číslo \(a\) také, že platí \[ \left\lfloor \frac{a}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2a}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{3a}{p} \right\rfloor + \dots + \left\lfloor \frac{pa}{p} \right\rfloor = 2024. \] Pozn.: Hodnota \(\left\lfloor x \right\rfloor\) sa rovná najväčšiemu celému číslu, ktoré nie je väčšie ako \(x\).

Postupnosť reálnych čísel \((a_k)_{k=1}^{\infty}\) spĺňa \( a_1 = \frac{1}{2},\ a_{k+1} = -a_k + \frac{1}{2-a_k} \) pre všetky kladné celé čísla \(k\). Dokážte, že pre všetky kladné celé čísla $n$ platí \[ \left(\frac{n}{2(a_1+a_2+\dots+a_n)}-1\right)^n \le \left(\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}\right)^n\left(\frac{1}{a_1}-1\right)\left(\frac{1}{a_2}-1\right)\dots\left(\frac{1}{a_n}-1\right). \]

Postupnosť reálnych čísel \((a_k)_{k=1}^{\infty}\) spĺňa \( a_1 = \frac{1}{2},\ a_{k+1} = -a_k + \frac{1}{2-a_k} \) pre všetky kladné celé čísla \(k\). Dokážte, že pre všetky kladné celé čísla $n$ platí \[ \left(\frac{n}{2(a_1+a_2+\dots+a_n)}-1\right)^n \le \left(\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}\right)^n\left(\frac{1}{a_1}-1\right)\left(\frac{1}{a_2}-1\right)\dots\left(\frac{1}{a_n}-1\right). \]