Processing math: 100%

Zadania seminára STROM, 44. ročník - Zimný semester


Vzorové riešenia 1. série nájdeš v časopise STROM-44-2
Vzorové riešenia 2. série nájdeš v časopise STROM-44-3
Prosíme všetkých riešiteľov, aby dbali na čitateľnosť nahratých riešení - namiesto odfotenia riešenia zo zošita riešenie radšej napíšte na čistý papier formátu A4, oskenujte (prípadne využite mobilné aplikácie, ktoré skener nahradia) a nahrajte ho správne orientované vo formáte PDF. Riešiteľ riskuje stratu bodov za všetko, čo opravovatelia neprečítajú.
1. Baník sa nachádza na kocke. Každú minútu sa rozhodne, či prejde do niektorého vrcholu, ktorý susedí hranou s vrcholom, kde sa práve nachádza, alebo sa prevŕta do vrcholu, ktorý je presne oproti. Baník sa vždy rozhodne náhodne s rovnakou pravdepodobnosťou pre každú voľbu nasledujúceho vrcholu. Aká je pravdepodobnosť, že sa po 2019 minútach bude nachádzať vo vrchole, ktorý je presne oproti počiatočnému vrcholu?
2. Dokážte, že pre všetky xR, pre všetky celé kladné n a pre ľubovoľné rozdelenie znamienok + a vo výrazoch ± platí x2n±x2n1+x2n2±x2n3+x2n4±±x+1>12.
3. Majme deku s rozmermi 3×3 metre ofarbenú troma farbami. Ukážte, že vieme zapichnúť dvojzubec do deky tak, že hroty dvojzubca prepichnú deku na miestach s rovnakou farbou. Predpokladáme, že hrot je jeden bod a že vzdialenosť hrotov dvojzubca je 1 cm.
4. Dokážte, že ak a, b sú korene polynómu x28x+1, tak potom pre všetky nezáporné celé čísla n platí, že an+bn je celé číslo nedeliteľné siedmimi.
5. Daná je úsečka PQ a kružnica k s priemerom aspoň |PQ|. Tetiva AB taká, že |AB|=|PQ|, sa hýbe po kružnici k. Pre každú polohu tetivy AB označíme ako T priesečník osí úsečiek AP a BQ, ak existuje práve jeden. Dokážte, že všetky možné body T ležia na jednej priamke.
6. Každý bod v rovine s celočíselnými súradnicami je ofarbený buď červenou alebo modrou farbou tak, aby boli splnené podmienky:
  1. Na úsečke spájajúcej červené body neleží žiaden modrý bod.
  2. Ak majú dva modré body vzdialenosť 2, potom bod uprostred medzi nimi je modrý.
Dokážte, že z ľubovoľného červeného bodu sa vieme dostať do ľubovoľného iného tak, že nemusíme prejsť cez žiaden modrý bod, pričom kroky vieme robiť len vodorovne a zvislo, vždy o vzdialenosť jedna.

Vzorové riešenia 1. série nájdeš v časopise STROM-44-2
Vzorové riešenia 2. série nájdeš v časopise STROM-44-3
Prosíme všetkých riešiteľov, aby dbali na čitateľnosť nahratých riešení - namiesto odfotenia riešenia zo zošita riešenie radšej napíšte na čistý papier formátu A4, oskenujte (prípadne využite mobilné aplikácie, ktoré skener nahradia) a nahrajte ho správne orientované vo formáte PDF. Riešiteľ riskuje stratu bodov za všetko, čo opravovatelia neprečítajú.
1. Určte, pre ktoré kladné celé čísla n existuje tabuľka n×n obsahujúca n2 kladných celých čísel, pre ktorú platí, že pre ľubovoľnú voľbu i a j (môžu nadobúdať hodnoty od 1 po n) je v políčku v i-tom riadku a j-tom stĺpci počet všetkých hodnôt j, ktoré sa vyskytujú v i-tom stĺpci.
2. Mihál nemá rád čísla s prívlastkom. Má však rád také kladné celé čísla m, pre ktoré je každé z čísel m, m+1, m+2 a m+3 deliteľné svojim ciferným súčtom. Dokážte, že ak posledná cifra v takomto čísle je 8, tak potom predposledná cifra tohto čísla je nutne 9.
3. Majme štvorec ABCD, ktorý má nad stranou AB zostrojenú polkružnicu vo vnútri štvorca ABCD. K tejto polkružnici veďme dotyčnicu prechádzajúcu bodom C rôznu od priamky CB a označme jej bod dotyku F. Prienik úsečky BD a polkružnice označíme E. Aký je obsah trojuholníka BEF, ak je dĺžka strany štvorca ABCD rovná 10?
4. V odľahlej časti mesta stojí niekoľko rovnakých veží s kruhovým pôdorysom. Vandali sa rozhodujú, kde budú sprejovať, pričom na mape si vyznačia bod na obvode veže práve vtedy, keď z daného miesta nevidno žiadnu inú vežu. Dokážte, že celková dĺžka vyznačených oblastí je rovná obvodu jednej veže.
5. Dvaja hráči hrajú piškvorky na nekonečne veľkom trojuholníkovom papieri a striedajú sa v ťahoch. Ten, kto je na ťahu, vždy nakreslí svoju značku do niektorého voľného políčka. Vyhrá hráč, ktorý má ako prvý neprerušovanú rovnú radu (smerujúcu jedným z troch možných smerov v mriežke) aspoň n svojich znakov, kde n je nejaké prirodzené číslo. V závislosti na n určte, kto má vyhrávajúcu alebo neprehrávajúcu stratégiu.
6. Nájdite všetky funkcie f:RR také, že pre všetky reálne čísla x,y platí: f(xy+f(x))=xf(y).

Newsletter

Nenechajte si ujsť akcie, ktoré chystáme a odoberajte náš newsletter!