Baník sa nachádza na kocke. Každú minútu sa rozhodne, či prejde do niektorého vrcholu, ktorý susedí hranou s vrcholom, kde sa práve nachádza, alebo sa prevŕta do vrcholu, ktorý je presne oproti. Baník sa vždy rozhodne náhodne s rovnakou pravdepodobnosťou pre každú voľbu nasledujúceho vrcholu. Aká je pravdepodobnosť, že sa po $2019$ minútach bude nachádzať vo vrchole, ktorý je presne oproti počiatočnému vrcholu?

Dokážte, že pre všetky $x \in \mathbb{R}$, pre všetky celé kladné $n$ a pre ľubovoľné rozdelenie znamienok $+$ a $-$ vo výrazoch $\pm$ platí $$x^{2n} \pm x^{2n-1} + x^{2n-2} \pm x^{2n-3} + x^{2n-4} \pm \dots \pm x + 1 > \frac{1}{2}.$$

Majme deku s rozmermi $3 \times 3$ metre ofarbenú troma farbami. Ukážte, že vieme zapichnúť dvojzubec do deky tak, že hroty dvojzubca prepichnú deku na miestach s rovnakou farbou. Predpokladáme, že hrot je jeden bod a že vzdialenosť hrotov dvojzubca je $1\ \textrm{cm}$.

Dokážte, že ak $a$, $b$ sú korene polynómu $x^2 - 8x + 1$, tak potom pre všetky nezáporné celé čísla $n$ platí, že $a^n +b^n$ je celé číslo nedeliteľné siedmimi.

Daná je úsečka $PQ$ a kružnica $k$ s priemerom aspoň $|PQ|$. Tetiva $AB$ taká, že $|AB|=|PQ|$, sa hýbe po kružnici $k$. Pre každú polohu tetivy $AB$ označíme ako $T$ priesečník osí úsečiek $AP$ a $BQ$, ak existuje práve jeden. Dokážte, že všetky možné body $T$ ležia na jednej priamke.

Každý bod v rovine s celočíselnými súradnicami je ofarbený buď červenou alebo modrou farbou tak, aby boli splnené podmienky:

1. Na úsečke spájajúcej červené body neleží žiaden modrý bod.
2. Ak majú dva modré body vzdialenosť $2$, potom bod uprostred medzi nimi je modrý.

Určte, pre ktoré kladné celé čísla $n$ existuje tabuľka $n\times n$ obsahujúca $n^2$ kladných celých čísel, pre ktorú platí, že pre ľubovoľnú voľbu $i$ a $j$ (môžu nadobúdať hodnoty od $1$ po $n$) je v políčku v $i$-tom riadku a $j$-tom stĺpci počet všetkých hodnôt $j$, ktoré sa vyskytujú v $i$-tom stĺpci.

Mihál nemá rád čísla s prívlastkom. Má však rád také kladné celé čísla $m$, pre ktoré je každé z čísel $m$, $m+1$, $m+2$ a $m+3$ deliteľné svojim ciferným súčtom. Dokážte, že ak posledná cifra v takomto čísle je $8$, tak potom predposledná cifra tohto čísla je nutne $9$.

Majme štvorec $ABCD$, ktorý má nad stranou $AB$ zostrojenú polkružnicu vo vnútri štvorca $ABCD$. K tejto polkružnici veďme dotyčnicu prechádzajúcu bodom $C$ rôznu od priamky $CB$ a označme jej bod dotyku $F$. Prienik úsečky $BD$ a polkružnice označíme $E$. Aký je obsah trojuholníka $BEF$, ak je dĺžka strany štvorca $ABCD$ rovná $10$?

V odľahlej časti mesta stojí niekoľko rovnakých veží s kruhovým pôdorysom. Vandali sa rozhodujú, kde budú sprejovať, pričom na mape si vyznačia bod na obvode veže práve vtedy, keď z daného miesta nevidno žiadnu inú vežu. Dokážte, že celková dĺžka vyznačených oblastí je rovná obvodu jednej veže.

Dvaja hráči hrajú piškvorky na nekonečne veľkom trojuholníkovom papieri a striedajú sa v ťahoch. Ten, kto je na ťahu, vždy nakreslí svoju značku do niektorého voľného políčka. Vyhrá hráč, ktorý má ako prvý neprerušovanú rovnú radu (smerujúcu jedným z troch možných smerov v mriežke) aspoň $n$ svojich znakov, kde $n$ je nejaké prirodzené číslo. V závislosti na $n$ určte, kto má vyhrávajúcu alebo neprehrávajúcu stratégiu.

Nájdite všetky funkcie $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ také, že pre všetky reálne čísla $x, y$ platí: $f(xy+f(x))=xf(y)$.