Dokážte, že niektoré dve z reálnych čísel $a,\ b,\ c,\ d$ sa líšia maximálne o 1, ak pre nich platí $$ab+cd = 1, $$ $$a^2 +b^2 +c^2 +d^2 = 4.$$

Majme konvexný štvoruholník $ABCD$ s pravým uhlom pri vrchole $C$. Označme $S$ stred strany $AB$. Dokážte, že: $$2\cdot |CS|\leq|BD|+|DA|.$$ Ukážte tiež, kedy nastane rovnosť.

Robčo a Peťo hrajú hru s gorodkami. Začína Robčo a v ťahoch sa striedajú, pričom každý vo svojom ťahu zvýši veľkosť gorodiek (označme $n$) o vlastného deliteľa $n$ (deliteľa menšieho ako $n$). Na začiatku majú dvojdielne gorodky ($n=2$). Vyhráva ten, kto prvý zvýši $n$ na hodnotu väčšiu alebo rovnú ako 2016. Obaja hrajú nalepšie ako sa dá. Kto vyhrá?

Vyriešte nasledujúcu rovnicu v celých číslach (svoje riešenie odôvodnite): $${x_1}^4 + \cdots + {x_{14}}^4 = 2015.$$

Ukážte, že pre každé prvočíslo $p$ existujú prirodzené čísla $a$, $b$ také, že $a^2 + b^2 + 1$ je deliteľné $p$.

Nech $ABCD$ je lichobežník so základňami $AB$ a $CD$ ($|AB| > |CD|$). Body $K$ a $L$ ležia na úsečkách $AB$ a $CD$ tak, že $|AK|:|KB| = |DL|:|LC|$. Predpokladajme, že existujú body $P$ a $Q$ na úsečke $KL$, pre ktoré platí $$|∠ APB| = |∠ BCD| \ \ \ \mbox{a} \ \ \ |∠ CQD| = |∠ ABC|.$$ Dokážte, že body $P,\ Q,\ B,\ C$ ležia na jednej kružnici.

Máme kružnicu $k$ a bod $X$ mimo nej. Nech $XY$ a $XZ$ sú dotyčnice ku kružnici $k$, pričom body $Y$ a $Z$ sú body dotyku. Dokážte, že stred kružnice vpísanej do trojuholníka $XYZ$ leží na kružnici $k$.

Dokážte, že ak $p$, $q$, $r$ sú racionálne čísla a platí $p^2+q^2+r^2+2 = (p+q+r)^2$, potom $(1+p^2)(1+q^2)(1+r^2)$ je druhou mocninou racionálneho čísla.

Urče počet podmnožín množiny $\{1,\ 2,\ 3,\ \dots,\ 50\}$, ktorej súčet prvkov je väčší alebo rovný ako 638.

Nech pre reálne čísla $x,\ y,\ z > 0$ platí $$\frac 1 x + \frac 1 y + \frac 1 z = 1,$$ dokážte, že $(x-1)(y-1)(z-1)\geq8.$

Nájdite najmenšie prirodzené číslo $t$, pre ktoré existujú celé čísla $x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_t$ také, pre ktoré platí $$x_1^3 + x_2^3 + \dots + x_t^3 = 2002^{2002}.$$

Máme tri obrovské krčahy, v každom z nich je kladný celočíselný počet litrov vody. Dovolené je doliať do ľubovoľného krčahu rovnaké množstvo vody, aké v ňom práve je z krčahu, ktorý obsahuje dostatočné množstvo vody. Dokážte, že pomocou takéhoto prelievania je vždy možné úplne vyprázdniť niektorý krčah.