Nájdite všetky trojice prvočísel $p$, $q$, $r$, pre ktoré platí: $${14\over p} + {51\over q} = {65\over r}.$$

Sto účastníkov sa rozdelilo do troch družiniek - Korene, Miazga a Stonka. Neskôr jedno dieťa z Koreňov prestúpilo do Miazgy, jedno z Miazgy do Stonky a jedno zo Stonky do Koreňov. Priemerná hmotnosť v družstve Korene sa zvýšila o $120$ gramov, v družinke Miazga o $130$ gramov, zatiaľčo v družinke Stonka sa znížila o $240$ gramov. Koľko členné družinky sme na sústredku mali?

Body na obvode rovnostranného trojuholníka sú ofarbené dvoma farbami (modrou a červenou). Dokážte, že medzi nimi existujú tri body rovnakej farby, ktoré tvoria vrcholy pravouhlého trojuholníka.

Matúš a Janka hrajú takúto hru: Matúš ako prvý hráč postaví na šachovnicu kráľa a urobí s ním ťah (podľa pravidiel šachu). Potom Janka a Matúš striedavo pohybujú kráľom tak, že je zakázané postaviť ho na políčka šachovnice, na ktorých už stál. Prehráva ten, kto už nemôže urobiť žiaden ťah. Kto z nich má víťaznú stratégiu? Popíšte ju.

Nech je daná kružnica $k$ so stredom $O$. Na predĺžení tetivy $KL$ kružnice $k$ leží bod $A$. Dotyčnice z bodu $A$ ku kružnici $k$ sa jej dotýkajú v bodoch $T$, $U$. Označme $M$ stred úsečky $TU$. Ukážte, že štvoruholník $KLMO$ je tetivový.

Majme funkciu $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, pre ktorú platí $x+f(x) = f(f(x)),$ pre všetky reálne čísla $x$. Nájdite všetky riešenia rovnice $f(f(x)) = 0$ v premennej $x$.

Riško a Šiško hrajú na šachovnici $10 \times 10 $ nasledujúcu hru. Ten, kto je práve na ťahu, si zvolí jeden z riadkov alebo stĺpcov, ktoré neboli doteraz v hre zvolené a všetky políčka v ňom si prefarbí na svoju farbu (Riško má ružovú a Šiško šedú). Riško začínal a v ťahoch sa striedajú. Hra končí, keď už bol každý riadok aj stĺpec zvolený. Nájdite pre Šiška takú stratégiu, pri ktorej na konci hry bude aspoň o $10$ šedých políčok viac ako ružových.

Nech je dané celé číslo $z$. Dokážte, že rovnice \begin{eqnarray*} x^2 + y^2 &=& z,\\ x^2 + y^2 &=& 2z. \end{eqnarray*} majú rovnaký počet riešení na množine celých čísel.

Dokážte, že pre ľubovoľné prirodzené $n$ existuje číslo zostavené len z cifier $1$ a $2$, ktoré je deliteľné $2^n$.

Skonštruujte pravouhlý trojuholník $ABC$ s danou preponou $c$ taký, že dĺžka ťažnice vychádzajúcej z vrchola $C$ je geometrický priemer dĺžok zvyšných dvoch odvesien.

Nech $a,\ b,\ c$ sú kladné reálne čísla také, že $$a^2 + b^2 + c^2 + (a + b + c)^2 \leq 4.$$ Dokážte, že $$\frac{ab+1}{(a+b)^2} + \frac{bc+1}{(b+c)^2} + \frac{ca+1}{(c+a)^2} \geq 3.$$

Nech $A$ je množina kladných prirodzených čísel s aspoň dvoma prvkami. Pre každé dve čísla $a,\ b$ z množiny $A$ také, že $a>b$ platí, že aj $$\frac{nsn(a,b)}{a-b} \in A,$$ kde $nsn(a,b)$ je najmenší spoločný násobok čísel $a$ a $b$. Dokážte, že množina $A$ má práve dva prvky.