Dokážte, že pre každé prirodzené číslo $n>3$, ktoré je nedeliteľné 3 platí, že šachovnicu $n\times n$ je možné rozrezať na jeden štvorec $1\times 1$ a obdĺžniky $3\times 1$.

Majme štvoruholník $ABCD$, ktorého uhlopriečky sa pretínajú v bode $E$ a uhlopriečku $AC$ rozdeľujú body $E$, $S$ a $R$ na 4 rovnako dlhé úseky ($|AE|=|ES|=|SR|=|RC|={1\over 4}|AC|$). Obdobne uhlopriečku $BD$ rozdeľujú body $Q$, $P$ a $E$ na 4 rovnako dlhé úseky ($|BQ|=|QP|=|PE|=|ED|={1\over 4}|BD|$). Určte pomer obsahov štvoruholníkov $ABCD$ a $PQRS$.

Nech pre kladné reálne čísla $a_1,a_2,\dots,a_n$ platí, že súčet ich druhých mocnín je $z^2.$ Dokážte, že súčet ich tretích mocnín je nanajvýš $z^3.$

Nájdite všetky prirodzené čísla $a$, $b$, pre ktoré platí $a+b+D(a,b)+n(a,b)=50$, pričom $D(a,b)$ označuje najväčšieho spoločného deliteľa a $n(a,b)$ najmenší spoločný násobok čísel $a$ a $b$.

Dokážte, že pre každé prirodzené číslo $n$ platí: ${2n\choose n}$ delí najmenší spoločný násobok čísel $1, 2, \dots, 2n.$

Zostrojte štvoruholník $ABCD$, ak poznáte $AB$, $AD$, uhly pri vrcholoch $B$ a $D$ a navyše viete, že sa mu dá vpísať kružnica. Okrem postupu nezabudnite hlavne na dôkaz správnosti tejto konštrukcie.

Nájdite všetky trojice reálnych čísel $x$, $y$, $z$, pre ktoré platí: $$x^2=y+z,\qquad y^2=z+x, \qquad z^2=x+y.$$

Nájdite najväčšie trojciferné číslo deliteľné 11, ktorého súčin cifier je piata mocnina.

Máme jednu kocku a ľubovoľné prirodzené číslo $k>55$. Ukážte, že našu kocku vieme rozrezať na $k$ menších, nie nutne rovnako veľkých kociek, t.j. rozdeliť ju na $k$ kúskov tak, aby každý z nich bol kockou, bez ohľadu na to, aké $k>55$ si zvolíme.

V štvoruholníku $ABCD$ sú pravé uhly pri vrcholoch $B$ a $D$. $AM$ a $CN$ sú výšky v trojuholníkoch $ABD$ a $CBD$. Dokážte, že $|BN|=|DM|.$

Nech $n$ je prirodzené číslo. Ďalej uvažujme len postupnsti dĺžky $2n+2$ zložené len z núl a jednotiek. Nájdite najmenšie prirodzené číslo $k$, pre ktoré vieme vybrať $k$ {\it \uv{vyvolených}} postupností takých, že každá postupnosť sa zhoduje s nejakou vyvolenou na aspoň $n+2$ pozíciách.

Nájdite všetky prirodzené čísla $n$, pre ktoré ak $p(x)$ je polynóm s celočíselnými koeficientami taký, že $0\leq p(k) \leq n$ pre $k = 0, 1, 2, \dots, n+1$, potom $p(0)=p(1)= \dots =p(n+1)$.