Je známe, že každý rovnostranný trojuholník vieme strednými priečkami rozdeliť na 4 menšie rovnostranné trojuholníky. Podobne vieme rozdeliť každý štvorec na 4 menšie štvorce. Dokážte, že pre každé $n \geq 6$ vieme ľubovoľný rovnostranný trojuholník rozdeliť na $n$ (nie nutne zhodných) rovnostranných trojuholníkov. Je pravda, že pre každé $n \geq 6$ vieme ľubovoľný štvorec rozdeliť na $n$ (nie nutne zhodných) štvorcov?

Koľko je dvojíc kladných celých čísel $(a, b)$ takých, že $a$ a $b$ sú nesúdeliteľné a navyše $$\frac{a}{b} + \frac{14b}{9a}$$ je celé číslo? Koľko by ich bolo, ak by $a$ a $b$ boli súdeliteľné?

Tri kobylky sedia v troch vrcholoch štvorca. Každú minútu jedna z nich preskočí inú kobylku a dopadne do bodu, ktorý je stredovo sumerný s bodom, v ktorom pôvodne stála skáčuca kobylka podľa bodu, v ktorom sedí preskakovaná kobylka. Môže sa niektorej z kobyliek podariť doskákať do štvrtého vrchola štvorca?

Predstavme si štvorčekovú mriežku, ktorá má každý štvorček ofarbený buď čiernou, alebo bielou farbou. Hovoríme, že štvorček je ohrozený, ak má čiernu farbu, v riadku naľavo od neho sa nachádza nejaký biely štvorček a v stĺpci nad štvorčekom sa nachádza nejaký biely štvorček.
a) Koľko je rôznych mriežok $2 \times 7$, ktoré nemajú žiaden ohrozený štvorček?
b) Koľko je rôznych mriežok $2\times n$ ($n$ je ľubovoľné prirodzené číslo), ktoré nemajú žiaden ohrozený štvorček?

Janko s Marienkou sa hrajú s $11$ kamienkami. Na začiatku hry sú kamienky na jednej kôpke. Marienka začína (keďže Janko je džentlmen). Na striedačku berú z kôpky $1$, $2$, $3$ alebo $4$ kamienky na svoju kôpku, až kým nie je kôpka úplne rozdelená. Vyhráva ten, kto má po rozdelení všetkých kamienkov na svojej kôpke párny počet kamienkov. Koľko kamienkov má zobrať na začiatku Marienka, aby zaručene vyhrala? Koľko ich má zobrať, ak je na začiatku v kôpke $33$ kamienkov? Nezabudnite svoje tvrdenie poriadne zdôvodniť.

Pre aké hodnoty parametra $b$ majú rovnice $$2009x^2 + bx + 9002 = 0$$ $$9002x^2 + bx + 2009 = 0$$ spoločný reálny koreň?

Majme ostrouhlý trojuholník $ABC$ s vnútornými uhlami väčšími ako $45^\circ$. Nad stranami $CA$ a $CB$ tohto trojuholníka ako základňami zvonku zostrojíme rovnoramenné pravouhlé trojuholníky $CAP$ a $CBQ$. Vnútri trojuholníka $ABC$ zostrojíme bod $R$ tak, aby $ARB$ bol rovnoramenný pravouhlý trojuholník so základňou $AB$. Dokážte, že $CQRP$ je rovnobežník.

Rovnica $x^3 − 6x^2 + 5x − 1 = 0$ má tri reálne korene $a$, $b$ a $c$, pričom $a < b < c$.
a) Určte hodnotu $a^5 + b^5 + c^5$.
b) Ukážte, že číslo $c^{2004}$ je bližšie k svojmu najbližšiemu celému číslu, ako číslo $c^{2003}$ k svojmu najbližšiemu celému číslu.