Prosíme všetkých riešiteľov, aby dbali na čitateľnosť nahratých riešení - namiesto odfotenia riešenia zo zošita riešenie radšej napíšte na čistý papier formátu A4, oskenujte (prípadne využite mobilné aplikácie, ktoré skener nahradia) a nahrajte ho správne orientované vo formáte PDF. Riešiteľ riskuje stratu bodov za všetko, čo opravovatelia neprečítajú.
1. Dokážte, že ak sú $a$, $b$, $c$, $d$ reálne čísla a $ac=2(b+d)$, tak má aspoň jedna z rovníc $x^2 + ax +b=0$ a $x^2+cx+d=0$ všetky korene reálne.
2. Majme trojuholník $ABC$, kde $AB$ je najdlhšia jeho strana. Zvoľme bod $D$ tak, aby sa nachádzal na opačnej polpriamke k $BA$, teda $B$ je medzi bodmi $A$ a $D$ a zároveň platí $|BC|=|BD|$. Dokážte, že trojuholník $ACD$ je tupouhlý.
3. Máme $n$ bodov v rovine. Môžeme urobiť to, že dva z nich vyberieme a následne obidva presunieme do stredu úsečky, ktorá ich spája. Body iba presúvame, žiaden z nich nezaniká. Zistite, pre ktoré $n$ je možné vždy presúvať dané body tak, aby všetky splynuli (boli v jednom bode).
4. Nájdite všetky polynómy $P(x)$ s reálnymi koeficientami, ktoré spĺňajú $(x^2 - 6x + 8)\cdot P(x) = (x^2 + 2x)\cdot P(x-4)$ pre všetky reálne čísla $x$.
5. Majme $n^2$ bodov rozmiestnených do mriežky $n\times n$. Z nich náhodne vyberieme $2n$ bodov. Dva vybrané body sú spojené zelenou úsečkou, ak sú v rovnakom riadku, a červenou úsečkou, ak sú v rovnakom stĺpci. Dokážte, že existuje uzavretá lomená čiara s vrcholmi vo vybraných bodoch a so stranami tvorenými týmito úsečkami taká, že sa farby jej strán striedajú.
6. Prirodzené číslo $n$ nazveme chutné, ak pre ľubovoľné dve prirodzené čísla $a$, $b$ také, že $a+b=n$ platí, že aspoň jeden zo zlomkov $\frac ab,\frac ba$ má konečný desatinný rozvoj. Existuje nekonečne veľa chutných čísel? Svoje riešenie odôvodnite.
Diskusia k zadaniu 1. séria zimného semestra - príklad 1
Dokážte, že ak sú $a$, $b$, $c$, $d$ reálne čísla a $ac=2(b+d)$, tak má aspoň jedna z rovníc $x^2 + ax +b=0$ a $x^2+cx+d=0$ všetky korene reálne.
ak je diskriminant rovny nule tak je to v poriadku, rata sa to ako realne korene danej rovnice
Daniel Onduš, 16. október 2018 20:47:41
Rata sa aj dvojnasobny koren pri diskriminantoch rovnych nule ako viacere realne korene ?
Ondrej Tomášik, 15. október 2018 21:45:22
Diskusia k zadaniu 1. séria zimného semestra - príklad 2
Majme trojuholník $ABC$, kde $AB$ je najdlhšia jeho strana. Zvoľme bod $D$ tak, aby sa nachádzal na opačnej polpriamke k $BA$, teda $B$ je medzi bodmi $A$ a $D$ a zároveň platí $|BC|=|BD|$. Dokážte, že trojuholník $ACD$ je tupouhlý.
Diskusia k zadaniu 1. séria zimného semestra - príklad 3
Máme $n$ bodov v rovine. Môžeme urobiť to, že dva z nich vyberieme a následne obidva presunieme do stredu úsečky, ktorá ich spája. Body iba presúvame, žiaden z nich nezaniká. Zistite, pre ktoré $n$ je možné vždy presúvať dané body tak, aby všetky splynuli (boli v jednom bode).
Presunu sa do stredu tejto usecky ale obidva, teda ziaden nevymazeme
Daniel Onduš, 8. október 2018 20:35:00
Čo znamená presunúť dva body do ich stredu? Znamená to nájsť stred úsečky, ktorá je daná týmito bodmi a potom body "vymazať" a miesto nich nechať len stred úsečky?
Dorota Porubská, 8. október 2018 19:57:04
Diskusia k zadaniu 1. séria zimného semestra - príklad 4
Nájdite všetky polynómy $P(x)$ s reálnymi koeficientami, ktoré spĺňajú $(x^2 - 6x + 8)\cdot P(x) = (x^2 + 2x)\cdot P(x-4)$ pre všetky reálne čísla $x$.
Diskusia k zadaniu 1. séria zimného semestra - príklad 5
Majme $n^2$ bodov rozmiestnených do mriežky $n\times n$. Z nich náhodne vyberieme $2n$ bodov. Dva vybrané body sú spojené zelenou úsečkou, ak sú v rovnakom riadku, a červenou úsečkou, ak sú v rovnakom stĺpci. Dokážte, že existuje uzavretá lomená čiara s vrcholmi vo vybraných bodoch a so stranami tvorenými týmito úsečkami taká, že sa farby jej strán striedajú.
Nie nemusí, môže ich mať menej
Daniel Onduš, 21. október 2018 17:07:53
Ta uzavretá lomená čiara musí mať 2n vrcholov
Adam Džavoronok, 21. október 2018 16:40:23
Diskusia k zadaniu 1. séria zimného semestra - príklad 6
Prirodzené číslo $n$ nazveme chutné, ak pre ľubovoľné dve prirodzené čísla $a$, $b$ také, že $a+b=n$ platí, že aspoň jeden zo zlomkov $\frac ab,\frac ba$ má konečný desatinný rozvoj. Existuje nekonečne veľa chutných čísel? Svoje riešenie odôvodnite.
ahoj, čísla a,b musia byť prirodzené
Daniel Onduš, 30. september 2018 12:53:29
Dobry den, dvojica cisel a b je hocijake cele realne cislo alebo iba prirodzene?
Prosíme všetkých riešiteľov, aby dbali na čitateľnosť nahratých riešení - namiesto odfotenia riešenia zo zošita riešenie radšej napíšte na čistý papier formátu A4, oskenujte (prípadne využite mobilné aplikácie, ktoré skener nahradia) a nahrajte ho správne orientované vo formáte PDF. Riešiteľ riskuje stratu bodov za všetko, čo opravovatelia neprečítajú.
1. Nech $ABCD$ je štvoruholník, v ktorom existuje kružnica, ktorá prechádza stredmi všetkých strán tohto štvoruholníka. Dokážte, že $AC$ a $BD$ sú na seba kolmé.
2. Máme riadok, v ktorom je 1000 čísel. Pod tento riadok pridáme ďalší tak, že pod každým číslom $a$ je napísaná hodnota $f(a)$, kde $f(a)$ je počet výskytov čísla $a$ v predchádzajúcom riadku. Takto postupne pridávame ďalšie riadky. Dokážte, že po pridaní dostatočného počtu riadkov budú pod sebou dva rovnaké riadky.
3. Je daná rovnica $x!y!z!=t!$, kde $x$, $y$, $z$, $t$ sú prirodzené čísla väčšie ako jedna. Ukážte, že existuje nekonečne veľa štvoríc $(x,y,z,t)$, ktoré spĺňajú túto rovnicu. Pozn.: $n!$ je číslo $n\cdot (n-1)\cdot \dots \cdot 2\cdot 1$.
4. Majme $n$ nenulových čísel, ktorých súčet je 0. Ukážte, že je možné ich očíslovať tak, aby platila nerovnosť: $$a_1a_2 + a_2a_3 + \dots + a_na_1 < 0.$$
5. Dokážte, že ľubovoľné celé číslo môže byť napísané ako súčet 5 tretích mocnín celých čísel.
6. Nech $ABC$ je ostrouhlý trojuholník s $|AB|<|AC|$. Nech $M$, $N$ sú postupne stredy strán $AB$ a $AC$ a nech $AD$ je výška v tomto trojuholníku. Na úsečke $MN$ zvolíme taký bod $K$, že $|BK|=|CK|$. Polpriamka $KD$ pretína kružnicu opísanú trojuholníku $ABC$ v bode $Q$. Dokážte, že body $C$, $N$, $K$, $Q$ ležia na jednej kružnici.
Diskusia k zadaniu 2. séria zimného semestra - príklad 1
Nech $ABCD$ je štvoruholník, v ktorom existuje kružnica, ktorá prechádza stredmi všetkých strán tohto štvoruholníka. Dokážte, že $AC$ a $BD$ sú na seba kolmé.
Diskusia k zadaniu 2. séria zimného semestra - príklad 2
Máme riadok, v ktorom je 1000 čísel. Pod tento riadok pridáme ďalší tak, že pod každým číslom $a$ je napísaná hodnota $f(a)$, kde $f(a)$ je počet výskytov čísla $a$ v predchádzajúcom riadku. Takto postupne pridávame ďalšie riadky. Dokážte, že po pridaní dostatočného počtu riadkov budú pod sebou dva rovnaké riadky.
Diskusia k zadaniu 2. séria zimného semestra - príklad 3
Je daná rovnica $x!y!z!=t!$, kde $x$, $y$, $z$, $t$ sú prirodzené čísla väčšie ako jedna. Ukážte, že existuje nekonečne veľa štvoríc $(x,y,z,t)$, ktoré spĺňajú túto rovnicu. Pozn.: $n!$ je číslo $n\cdot (n-1)\cdot \dots \cdot 2\cdot 1$.
môžu byť, ale nemusia
Daniel Onduš, 8. november 2018 20:22:09
x,y,z,t sú navzájom rôzne čísla?
Patrik Paľovčík, 8. november 2018 16:53:05
Diskusia k zadaniu 2. séria zimného semestra - príklad 4
Majme $n$ nenulových čísel, ktorých súčet je 0. Ukážte, že je možné ich očíslovať tak, aby platila nerovnosť: $$a_1a_2 + a_2a_3 + \dots + a_na_1 < 0.$$
Diskusia k zadaniu 2. séria zimného semestra - príklad 5
Dokážte, že ľubovoľné celé číslo môže byť napísané ako súčet 5 tretích mocnín celých čísel.
Diskusia k zadaniu 2. séria zimného semestra - príklad 6
Nech $ABC$ je ostrouhlý trojuholník s $|AB|<|AC|$. Nech $M$, $N$ sú postupne stredy strán $AB$ a $AC$ a nech $AD$ je výška v tomto trojuholníku. Na úsečke $MN$ zvolíme taký bod $K$, že $|BK|=|CK|$. Polpriamka $KD$ pretína kružnicu opísanú trojuholníku $ABC$ v bode $Q$. Dokážte, že body $C$, $N$, $K$, $Q$ ležia na jednej kružnici.
Newsletter
Nenechajte si ujsť akcie, ktoré chystáme a odoberajte náš newsletter!
ak je diskriminant rovny nule tak je to v poriadku, rata sa to ako realne korene danej rovnice
Rata sa aj dvojnasobny koren pri diskriminantoch rovnych nule ako viacere realne korene ?