Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Zadania seminára STROM, 32. ročník - Zimný semester


Vzorové riešenia 1. série nájdeš v časopise STROM-32-2
Vzorové riešenia 2. série nájdeš v časopise STROM-32-3
Prosíme všetkých riešiteľov, aby dbali na čitateľnosť nahratých riešení - namiesto odfotenia riešenia zo zošita riešenie radšej napíšte na čistý papier formátu A4, oskenujte (prípadne využite mobilné aplikácie, ktoré skener nahradia) a nahrajte ho správne orientované vo formáte PDF. Riešiteľ riskuje stratu bodov za všetko, čo opravovatelia neprečítajú.
1. V krajine STROMovo je každé mesto spojené leteckými linkami s nanajvýš tromi inými mestami. Všetky letecké linky sú obojsmerné. Z ľubovoľného mesta sa vieme do ľubovoľného iného mesta dosta lietadlom s nanajvýš jedným prestupom. Koľko najviac miest môže by v tejto krajine?
Ak si myslíte, že správna odpoveï je 325, Vaše riešenie by malo obsahova nielen ukážku toho, že 325 miest je možných, ale aj zdôvodnenie, že viac miest by v krajine nemôže.
2. Danka a Janka hrajú na šachovnici s veľkosou 5×5 hru, pri ktorej sa striedajú v ťahoch. Tá, ktorá je na ťahu, zakryje dve ešte nezakryté políčka šachovnice kúskom domina veľkosti 2×1 (resp. 1×2). Prehráva hráčka, ktorá nemôže urobiť ťah. Pod dĺžkou (ukončenej) hry rozumieme počet ťahov, ktoré sa uskutočnili. Aká najdlhšia a aká najkratšia hra sa dá zahrať pri takýchto pravidlách?
Nezabudnite uviesť okrem príkladu najdlhšej hry aj dôvody, pre ktoré žiadna iná hra nemôže by dlhšia. Podobne pre najkratšiu možnú hru.
3. Daný je trojuholník ABC. Uvažujme bod P, ktorý leží v trojuholníku ABC na osi strany AB. K nemu zostrojíme body Q a R ležiace mimo trojuholníka ABC tak, aby trojuholníky BQC a~CRA boli podobné s trojuholníkom APB.
a) Nájdite všetky body P také, že body P, Q, C, R ležia na priamke.
b) Predpokladajme, že body P, Q, C, R neležia na priamke. Dokážte, že potom vytvárajú rovnobežník.
V časti a) nestačí len nájsť tieto body. Treba aj zdôvodniť, prečo iné body nevyhovujú.
4. Majme štyri navzájom rôzne kladné reálne èísla. Dokážte, že z nich vieme vybra tri čísla a označiť ich a, b, c tak, že rovnice ax2+x+b=0 (s neznámou x), by2+y+c=0 (s neznámou y) a~cz2+z+a=0 (s neznámou z) buď všetky majú reálny koreň, alebo žiadna z nich nemá reálny koreň.

Vzorové riešenia 1. série nájdeš v časopise STROM-32-2
Vzorové riešenia 2. série nájdeš v časopise STROM-32-3
Prosíme všetkých riešiteľov, aby dbali na čitateľnosť nahratých riešení - namiesto odfotenia riešenia zo zošita riešenie radšej napíšte na čistý papier formátu A4, oskenujte (prípadne využite mobilné aplikácie, ktoré skener nahradia) a nahrajte ho správne orientované vo formáte PDF. Riešiteľ riskuje stratu bodov za všetko, čo opravovatelia neprečítajú.
1. a) Nájdite všetky dvojice prirodzených čísel také, že ich súčin je pänásobkom ich súčtu.
b) Nájdite všetky trojice prirodzených čísel také, že ich súčin je pänásobkom ich súčtu.
2. a) Dokážte, že pre všetky k>1 existuje k-tica prirodzených čísel takých, že ich súčin je pänásobkom ich súčtu.
b) Rozhodnite, pre ktoré k>1 existuje k-tica navzájom rôznych prirodzených čísel takých, že ich súčin je pänásobkom ich súčtu.
3. V rovine je daná priamka p a bod C, ktorý na nej neleží. Po priamke p sa pohybuje úsečka AB pevnej dľžky d.
a) Zostrojte trojuholník ABC, ak okrem daného bodu C, priamky p a dľžky d poznáte veľkosť polomeru R kružnice opísanej trojuholníku ABC.
b) Pre ktorú polohu úsečky AB má trojuholník ABC najväčší obsah?
c) Pre ktorú polohu úsečky AB má kružnica vpísaná do trojuholníka ABC najväčší polomer?
V úlohách b) a c) treba nájsť všetky také polohy a zdôvodniť, prečo sú to len tie a žiadne iné.
4. V rovine je daná priamka p a bod C, ktorý na nej neleží. Po priamke p sa pohybuje úsečka AB pevnej dľžky d.
a) Po akej dráhe sa pohybuje priesečník výšok V trojuholníka ABC?
b) Po akej dráhe sa pohybuje ťažisko T trojuholníka ABC?
c) Zostrojte trojuholník ABC, ak je daná dľžka úsečky AB, vzdialenosť bodu C od priamky AB a súčin dĺžok ťažníc z vrcholov A a B.
V úlohách a) a b) treba podrobne popísať, do ktorých bodov roviny sa môže uvažovaný bod (V, resp. T) dostať pri pohybe úsečky AB. Nezabudnite zdôvodniť, že sú to všetky také body, teda že do iných bodov sa uvažovaný bod dostať nemôže.}

Newsletter

Nenechajte si ujsť akcie, ktoré chystáme a odoberajte náš newsletter!