V krajine STROMovo je každé mesto spojené leteckými linkami s nanajvýš tromi inými mestami. Všetky letecké linky sú obojsmerné. Z ľubovoľného mesta sa vieme do ľubovoľného iného mesta dosta lietadlom s nanajvýš jedným prestupom. Koľko najviac miest môže by v tejto krajine?
Ak si myslíte, že správna odpoveï je $325$, Vaše riešenie by malo obsahova nielen ukážku toho, že $325$ miest je možných, ale aj zdôvodnenie, že viac miest by v krajine nemôže.

Danka a Janka hrajú na šachovnici s veľkosou $5\times 5$ hru, pri ktorej sa striedajú v ťahoch. Tá, ktorá je na ťahu, zakryje dve ešte nezakryté políčka šachovnice kúskom domina veľkosti $2\times 1$ (resp. $1\times 2$). Prehráva hráčka, ktorá nemôže urobiť ťah. Pod dĺžkou (ukončenej) hry rozumieme počet ťahov, ktoré sa uskutočnili. Aká najdlhšia a aká najkratšia hra sa dá zahrať pri takýchto pravidlách?
Nezabudnite uviesť okrem príkladu najdlhšej hry aj dôvody, pre ktoré žiadna iná hra nemôže by dlhšia. Podobne pre najkratšiu možnú hru.

Daný je trojuholník $ABC$. Uvažujme bod $P$, ktorý leží v trojuholníku $ABC$ na osi strany $AB$. K nemu zostrojíme body $Q$ a $R$ ležiace mimo trojuholníka $ABC$ tak, aby trojuholníky $BQC$ a~$CRA$ boli podobné s trojuholníkom $APB$.
a) Nájdite všetky body $P$ také, že body $P$, $Q$, $C$, $R$ ležia na priamke.
b) Predpokladajme, že body $P$, $Q$, $C$, $R$ neležia na priamke. Dokážte, že potom vytvárajú rovnobežník.
V časti a) nestačí len nájsť tieto body. Treba aj zdôvodniť, prečo iné body nevyhovujú.

Majme štyri navzájom rôzne kladné reálne èísla. Dokážte, že z nich vieme vybra tri čísla a označiť ich $a$, $b$, $c$ tak, že rovnice $ax^2+x+b=0$ (s neznámou $x$), $by^2+y+c=0$ (s neznámou $y$) a~$cz^2+z+a=0$ (s neznámou $z$) buď všetky majú reálny koreň, alebo žiadna z nich nemá reálny koreň.

a) Nájdite všetky dvojice prirodzených čísel také, že ich súčin je pänásobkom ich súčtu.
b) Nájdite všetky trojice prirodzených čísel také, že ich súčin je pänásobkom ich súčtu.

a) Dokážte, že pre všetky $k>1$ existuje $k$-tica prirodzených čísel takých, že ich súčin je pänásobkom ich súčtu.
b) Rozhodnite, pre ktoré $k>1$ existuje $k$-tica navzájom rôznych prirodzených čísel takých, že ich súčin je pänásobkom ich súčtu.

V rovine je daná priamka $p$ a bod $C$, ktorý na nej neleží. Po priamke $p$ sa pohybuje úsečka $AB$ pevnej dľžky $d$.
a) Zostrojte trojuholník $ABC$, ak okrem daného bodu $C$, priamky $p$ a dľžky $d$ poznáte veľkosť polomeru $R$ kružnice opísanej trojuholníku $ABC$.
b) Pre ktorú polohu úsečky $AB$ má trojuholník $ABC$ najväčší obsah?
c) Pre ktorú polohu úsečky $AB$ má kružnica vpísaná do trojuholníka $ABC$ najväčší polomer?
V úlohách b) a c) treba nájsť všetky také polohy a zdôvodniť, prečo sú to len tie a žiadne iné.

V rovine je daná priamka $p$ a bod $C$, ktorý na nej neleží. Po priamke $p$ sa pohybuje úsečka $AB$ pevnej dľžky $d$.
a) Po akej dráhe sa pohybuje priesečník výšok $V$ trojuholníka $ABC$?
b) Po akej dráhe sa pohybuje ťažisko $T$ trojuholníka $ABC$?
c) Zostrojte trojuholník $ABC$, ak je daná dľžka úsečky $AB$, vzdialenosť bodu $C$ od priamky $AB$ a súčin dĺžok ťažníc z vrcholov $A$ a $B$.
V úlohách a) a b) treba podrobne popísať, do ktorých bodov roviny sa môže uvažovaný bod ($V$, resp. $T$) dostať pri pohybe úsečky $AB$. Nezabudnite zdôvodniť, že sú to všetky také body, teda že do iných bodov sa uvažovaný bod dostať nemôže.}