Prosíme všetkých riešiteľov, aby dbali na čitateľnosť nahratých riešení - namiesto odfotenia riešenia zo zošita riešenie radšej napíšte na čistý papier formátu A4, oskenujte (prípadne využite mobilné aplikácie, ktoré skener nahradia) a nahrajte ho správne orientované vo formáte PDF. Riešiteľ riskuje stratu bodov za všetko, čo opravovatelia neprečítajú.
1. Majme dve periodické postupnosti s periódami 7 a 13 (perióda \(p\) postupnosti \(a_1\), \(a_2\), \( \dots \) je najmenšie \(p\), pre ktoré platí \(a_n = a_{n+p}\) pre všetky kladné celé \(n\)). Akú najväčšiu dĺžku môže mať začiatočný úsek, v ktorom sa budú obe postupnosti zhodovať?
2. Nech \(PQRS\) je štvoruholník, ktorého uhlopriečky sa pretínajú v jeho vnútornom bode \(X\). Ukážte, že strany \(PQ\) a \(RS\) majú rovnakú dĺžku práve vtedy, keď majú kružnice opísané trojuholníkom \(PQX\) a \(RSX\) rovnaký polomer.
3. Na stole je \(7\) kôpok po \(2024\) kameňov. Bia a Šmili hrajú hru, pričom Bia začína. Každý ťah si hráč vyberie jednu kôpku a zvyšné kôpky vyhodí z hry. Potom túto zvolenú kôpku rozdelí na \(2\) až \(7\) neprázdnych kôpok. Hráč prehráva, ak nevie spraviť ťah. Má niektorý z hráčov víťaznú stratégiu? Ak nie, prečo? Ak áno, akú?
4. Majme postupnosť celých čísel \(1\) až \(2024\) v neznámom poradí. V každom kroku vezmeme \(k\) prvých členov, kde \(k\) je prvý člen postupnosti, a obrátime im poradie. Dokážte, že po niekoľkých operáciách sa na prvé miesto dostane číslo \(1\).
5. Nájdite všetky funkcie \(f\) na kladných reálnych číslach také, že pre každé kladné reálne \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) spĺňajúce \(abcd = 1\) platí
\[
(f(a) + f(b))(f(c) + f(d)) = (a + b)(c + d).
\]
6. Nech \(ABC\) je ostrouhlý trojuholník, kde \(AB\) je najmenšia strana a \(D\) je stred \(AB\). Nech \(P\) je bod vo vnútri trojuholníka \(ABC\) taký, že \(|\angle CAP| = |\angle CBP| = |\angle ACB|\). Z bodu \(P\) veďme kolmé čiary na \(BC\) a \(AC\), priesečník s \(BC\) označme \(M\) a priesečník s \(AC\) označme \(N\). Cez bod \(M\) veďme priamku rovnobežnú s \(AC\) a cez bod \(N\) priamku rovnobežnú s \(BC\). Tieto priamky sa pretínajú v bode \(K\). Dokážte, že \(D\) je stred kružnice opísanej trojuholníku \(MNK\).
Odovzdávanie: 1. séria - Zimný semester - príklad 1
Majme dve periodické postupnosti s periódami 7 a 13 (perióda \(p\) postupnosti \(a_1\), \(a_2\), \( \dots \) je najmenšie \(p\), pre ktoré platí \(a_n = a_{n+p}\) pre všetky kladné celé \(n\)). Akú najväčšiu dĺžku môže mať začiatočný úsek, v ktorom sa budú obe postupnosti zhodovať?
Inštrukcie:
Povolený formát je jeden PDF súbor.
Maximálna veľkosť riešenia je: 10,0 MB
Diskusia k zadaniu 1. séria - Zimný semester - príklad 1
Majme dve periodické postupnosti s periódami 7 a 13 (perióda \(p\) postupnosti \(a_1\), \(a_2\), \( \dots \) je najmenšie \(p\), pre ktoré platí \(a_n = a_{n+p}\) pre všetky kladné celé \(n\)). Akú najväčšiu dĺžku môže mať začiatočný úsek, v ktorom sa budú obe postupnosti zhodovať?
Odovzdávanie: 1. séria - Zimný semester - príklad 2
Nech \(PQRS\) je štvoruholník, ktorého uhlopriečky sa pretínajú v jeho vnútornom bode \(X\). Ukážte, že strany \(PQ\) a \(RS\) majú rovnakú dĺžku práve vtedy, keď majú kružnice opísané trojuholníkom \(PQX\) a \(RSX\) rovnaký polomer.
Inštrukcie:
Povolený formát je jeden PDF súbor.
Maximálna veľkosť riešenia je: 10,0 MB
Diskusia k zadaniu 1. séria - Zimný semester - príklad 2
Nech \(PQRS\) je štvoruholník, ktorého uhlopriečky sa pretínajú v jeho vnútornom bode \(X\). Ukážte, že strany \(PQ\) a \(RS\) majú rovnakú dĺžku práve vtedy, keď majú kružnice opísané trojuholníkom \(PQX\) a \(RSX\) rovnaký polomer.
Odovzdávanie: 1. séria - Zimný semester - príklad 3
Na stole je \(7\) kôpok po \(2024\) kameňov. Bia a Šmili hrajú hru, pričom Bia začína. Každý ťah si hráč vyberie jednu kôpku a zvyšné kôpky vyhodí z hry. Potom túto zvolenú kôpku rozdelí na \(2\) až \(7\) neprázdnych kôpok. Hráč prehráva, ak nevie spraviť ťah. Má niektorý z hráčov víťaznú stratégiu? Ak nie, prečo? Ak áno, akú?
Inštrukcie:
Povolený formát je jeden PDF súbor.
Maximálna veľkosť riešenia je: 10,0 MB
Diskusia k zadaniu 1. séria - Zimný semester - príklad 3
Na stole je \(7\) kôpok po \(2024\) kameňov. Bia a Šmili hrajú hru, pričom Bia začína. Každý ťah si hráč vyberie jednu kôpku a zvyšné kôpky vyhodí z hry. Potom túto zvolenú kôpku rozdelí na \(2\) až \(7\) neprázdnych kôpok. Hráč prehráva, ak nevie spraviť ťah. Má niektorý z hráčov víťaznú stratégiu? Ak nie, prečo? Ak áno, akú?
Ahoj, hráč na ťahu nemusí deliť zvolenú kôpku rovnomerne.
Matej Hanus, 1. október 2024 12:50:33
Ahojte, keď tú kôpku rozdeľujú na tých 2 až 7 neprázdnych kôpok, delia to na kôpky s rovnakým počtom kameňov/rovnomerne? Alebo to vedia rozdeliť medzi tých 2 až 7 kôpok hocijako?
Janka Urbánová, 29. september 2024 10:01:16
Odovzdávanie: 1. séria - Zimný semester - príklad 4
Majme postupnosť celých čísel \(1\) až \(2024\) v neznámom poradí. V každom kroku vezmeme \(k\) prvých členov, kde \(k\) je prvý člen postupnosti, a obrátime im poradie. Dokážte, že po niekoľkých operáciách sa na prvé miesto dostane číslo \(1\).
Inštrukcie:
Povolený formát je jeden PDF súbor.
Maximálna veľkosť riešenia je: 10,0 MB
Diskusia k zadaniu 1. séria - Zimný semester - príklad 4
Majme postupnosť celých čísel \(1\) až \(2024\) v neznámom poradí. V každom kroku vezmeme \(k\) prvých členov, kde \(k\) je prvý člen postupnosti, a obrátime im poradie. Dokážte, že po niekoľkých operáciách sa na prvé miesto dostane číslo \(1\).
Odovzdávanie: 1. séria - Zimný semester - príklad 5
Nájdite všetky funkcie \(f\) na kladných reálnych číslach také, že pre každé kladné reálne \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) spĺňajúce \(abcd = 1\) platí
\[
(f(a) + f(b))(f(c) + f(d)) = (a + b)(c + d).
\]
Inštrukcie:
Povolený formát je jeden PDF súbor.
Maximálna veľkosť riešenia je: 10,0 MB
Diskusia k zadaniu 1. séria - Zimný semester - príklad 5
Nájdite všetky funkcie \(f\) na kladných reálnych číslach také, že pre každé kladné reálne \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) spĺňajúce \(abcd = 1\) platí
\[
(f(a) + f(b))(f(c) + f(d)) = (a + b)(c + d).
\]
Ahoj, hľadá sa funkcia z kladných reálnych čísel do kladných reálnych čísel.
Matej Hanus, 1. október 2024 12:48:47
Ahojte, Je táto funkcia z kladných reálnych čísel do kladných reálnych čísel alebo už do všetkých reálnych?
Richard Vodička, 27. september 2024 18:24:58
Odovzdávanie: 1. séria - Zimný semester - príklad 6
Nech \(ABC\) je ostrouhlý trojuholník, kde \(AB\) je najmenšia strana a \(D\) je stred \(AB\). Nech \(P\) je bod vo vnútri trojuholníka \(ABC\) taký, že \(|\angle CAP| = |\angle CBP| = |\angle ACB|\). Z bodu \(P\) veďme kolmé čiary na \(BC\) a \(AC\), priesečník s \(BC\) označme \(M\) a priesečník s \(AC\) označme \(N\). Cez bod \(M\) veďme priamku rovnobežnú s \(AC\) a cez bod \(N\) priamku rovnobežnú s \(BC\). Tieto priamky sa pretínajú v bode \(K\). Dokážte, že \(D\) je stred kružnice opísanej trojuholníku \(MNK\).
Inštrukcie:
Povolený formát je jeden PDF súbor.
Maximálna veľkosť riešenia je: 10,0 MB
Diskusia k zadaniu 1. séria - Zimný semester - príklad 6
Nech \(ABC\) je ostrouhlý trojuholník, kde \(AB\) je najmenšia strana a \(D\) je stred \(AB\). Nech \(P\) je bod vo vnútri trojuholníka \(ABC\) taký, že \(|\angle CAP| = |\angle CBP| = |\angle ACB|\). Z bodu \(P\) veďme kolmé čiary na \(BC\) a \(AC\), priesečník s \(BC\) označme \(M\) a priesečník s \(AC\) označme \(N\). Cez bod \(M\) veďme priamku rovnobežnú s \(AC\) a cez bod \(N\) priamku rovnobežnú s \(BC\). Tieto priamky sa pretínajú v bode \(K\). Dokážte, že \(D\) je stred kružnice opísanej trojuholníku \(MNK\).
Prosíme všetkých riešiteľov, aby dbali na čitateľnosť nahratých riešení - namiesto odfotenia riešenia zo zošita riešenie radšej napíšte na čistý papier formátu A4, oskenujte (prípadne využite mobilné aplikácie, ktoré skener nahradia) a nahrajte ho správne orientované vo formáte PDF. Riešiteľ riskuje stratu bodov za všetko, čo opravovatelia neprečítajú.
1. Číslo nazývame \(k\)-rásne, ak ho vieme zapísať ako súčet \(k\) po sebe idúcich kladných celých čísel (napríklad číslo 9 je 2-rásne, pretože \(9=4+5\), a zároveň je 3-rásne, pretože \(9=2+3+4\)).
Koľko čísel z množiny \(\{1,2,3, \dots ,2024\}\) je naraz 3-rásnych, 4-rásnych a 5-rásnych?
Existujú nejaké kladné celé čísla, ktoré sú naraz 3-rásne, 4-rásne, 5-rásne a 6-rásne?
2. Majme postupnosť kladných celých čísel \(a_1 < a_2 < a_3 < \dots \) Pre všetky kladné celé \(k\) platí \(a_{a_k} = 3k\).
Určte \(a_{1000}\).
Určte \(a_{2024}\).
3. Nech \(S\) je podmnožina množiny \(M=\{1, 2, \dots ,100\}\). Dokážte, že v \(S\) existujú tri rôzne dvojice čísel s rovnakým rozdielom, ak \(S\) má
21 prvkov,
20 prvkov,
19 prvkov.
4. Nech \(D\), \(E\) sú body na strane \(AB\) trojuholníka \(ABC\) také, že \[\frac{|AD|\cdot|AE|}{|BD|\cdot|BE|} = \left(\frac{|AC|}{|BC|}\right)^2.\] Ukážte, že uhly \(ACD\) a \(BCE\) sú zhodné.
5. Nájdite všetky prvočísla \(p\), pre ktoré existuje kladné celé číslo \(a\) také, že platí
\[
\left\lfloor \frac{a}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2a}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{3a}{p} \right\rfloor + \dots + \left\lfloor \frac{pa}{p} \right\rfloor = 2024.
\]
Pozn.: Hodnota \(\left\lfloor x \right\rfloor\) sa rovná najväčšiemu celému číslu, ktoré nie je väčšie ako \(x\).
6. Postupnosť reálnych čísel \((a_k)_{k=1}^{\infty}\) spĺňa
\(
a_1 = \frac{1}{2},\ a_{k+1} = -a_k + \frac{1}{2-a_k}
\)
pre všetky kladné celé čísla \(k\). Dokážte, že pre všetky kladné celé čísla $n$ platí
\[
\left(\frac{n}{2(a_1+a_2+\dots+a_n)}-1\right)^n \le \left(\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}\right)^n\left(\frac{1}{a_1}-1\right)\left(\frac{1}{a_2}-1\right)\dots\left(\frac{1}{a_n}-1\right).
\]
Odovzdávanie: 2. séria - Zimný semester - príklad 1
Číslo nazývame \(k\)-rásne, ak ho vieme zapísať ako súčet \(k\) po sebe idúcich kladných celých čísel (napríklad číslo 9 je 2-rásne, pretože \(9=4+5\), a zároveň je 3-rásne, pretože \(9=2+3+4\)).
Koľko čísel z množiny \(\{1,2,3, \dots ,2024\}\) je naraz 3-rásnych, 4-rásnych a 5-rásnych?
Existujú nejaké kladné celé čísla, ktoré sú naraz 3-rásne, 4-rásne, 5-rásne a 6-rásne?
Inštrukcie:
Povolený formát je jeden PDF súbor.
Maximálna veľkosť riešenia je: 10,0 MB
Diskusia k zadaniu 2. séria - Zimný semester - príklad 1
Číslo nazývame \(k\)-rásne, ak ho vieme zapísať ako súčet \(k\) po sebe idúcich kladných celých čísel (napríklad číslo 9 je 2-rásne, pretože \(9=4+5\), a zároveň je 3-rásne, pretože \(9=2+3+4\)).
Koľko čísel z množiny \(\{1,2,3, \dots ,2024\}\) je naraz 3-rásnych, 4-rásnych a 5-rásnych?
Existujú nejaké kladné celé čísla, ktoré sú naraz 3-rásne, 4-rásne, 5-rásne a 6-rásne?
Odovzdávanie: 2. séria - Zimný semester - príklad 2
Majme postupnosť kladných celých čísel \(a_1 < a_2 < a_3 < \dots \) Pre všetky kladné celé \(k\) platí \(a_{a_k} = 3k\).
Určte \(a_{1000}\).
Určte \(a_{2024}\).
Inštrukcie:
Povolený formát je jeden PDF súbor.
Maximálna veľkosť riešenia je: 10,0 MB
Diskusia k zadaniu 2. séria - Zimný semester - príklad 2
Majme postupnosť kladných celých čísel \(a_1 < a_2 < a_3 < \dots \) Pre všetky kladné celé \(k\) platí \(a_{a_k} = 3k\).
Určte \(a_{1000}\).
Určte \(a_{2024}\).
Odovzdávanie: 2. séria - Zimný semester - príklad 3
Nech \(S\) je podmnožina množiny \(M=\{1, 2, \dots ,100\}\). Dokážte, že v \(S\) existujú tri rôzne dvojice čísel s rovnakým rozdielom, ak \(S\) má
21 prvkov,
20 prvkov,
19 prvkov.
Inštrukcie:
Povolený formát je jeden PDF súbor.
Maximálna veľkosť riešenia je: 10,0 MB
Diskusia k zadaniu 2. séria - Zimný semester - príklad 3
Nech \(S\) je podmnožina množiny \(M=\{1, 2, \dots ,100\}\). Dokážte, že v \(S\) existujú tri rôzne dvojice čísel s rovnakým rozdielom, ak \(S\) má
21 prvkov,
20 prvkov,
19 prvkov.
Odovzdávanie: 2. séria - Zimný semester - príklad 4
Nech \(D\), \(E\) sú body na strane \(AB\) trojuholníka \(ABC\) také, že \[\frac{|AD|\cdot|AE|}{|BD|\cdot|BE|} = \left(\frac{|AC|}{|BC|}\right)^2.\] Ukážte, že uhly \(ACD\) a \(BCE\) sú zhodné.
Inštrukcie:
Povolený formát je jeden PDF súbor.
Maximálna veľkosť riešenia je: 10,0 MB
Diskusia k zadaniu 2. séria - Zimný semester - príklad 4
Nech \(D\), \(E\) sú body na strane \(AB\) trojuholníka \(ABC\) také, že \[\frac{|AD|\cdot|AE|}{|BD|\cdot|BE|} = \left(\frac{|AC|}{|BC|}\right)^2.\] Ukážte, že uhly \(ACD\) a \(BCE\) sú zhodné.
Odovzdávanie: 2. séria - Zimný semester - príklad 5
Nájdite všetky prvočísla \(p\), pre ktoré existuje kladné celé číslo \(a\) také, že platí
\[
\left\lfloor \frac{a}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2a}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{3a}{p} \right\rfloor + \dots + \left\lfloor \frac{pa}{p} \right\rfloor = 2024.
\]
Pozn.: Hodnota \(\left\lfloor x \right\rfloor\) sa rovná najväčšiemu celému číslu, ktoré nie je väčšie ako \(x\).
Inštrukcie:
Povolený formát je jeden PDF súbor.
Maximálna veľkosť riešenia je: 10,0 MB
Diskusia k zadaniu 2. séria - Zimný semester - príklad 5
Nájdite všetky prvočísla \(p\), pre ktoré existuje kladné celé číslo \(a\) také, že platí
\[
\left\lfloor \frac{a}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2a}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{3a}{p} \right\rfloor + \dots + \left\lfloor \frac{pa}{p} \right\rfloor = 2024.
\]
Pozn.: Hodnota \(\left\lfloor x \right\rfloor\) sa rovná najväčšiemu celému číslu, ktoré nie je väčšie ako \(x\).
Odovzdávanie: 2. séria - Zimný semester - príklad 6
Postupnosť reálnych čísel \((a_k)_{k=1}^{\infty}\) spĺňa
\(
a_1 = \frac{1}{2},\ a_{k+1} = -a_k + \frac{1}{2-a_k}
\)
pre všetky kladné celé čísla \(k\). Dokážte, že pre všetky kladné celé čísla $n$ platí
\[
\left(\frac{n}{2(a_1+a_2+\dots+a_n)}-1\right)^n \le \left(\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}\right)^n\left(\frac{1}{a_1}-1\right)\left(\frac{1}{a_2}-1\right)\dots\left(\frac{1}{a_n}-1\right).
\]
Inštrukcie:
Povolený formát je jeden PDF súbor.
Maximálna veľkosť riešenia je: 10,0 MB
Diskusia k zadaniu 2. séria - Zimný semester - príklad 6
Postupnosť reálnych čísel \((a_k)_{k=1}^{\infty}\) spĺňa
\(
a_1 = \frac{1}{2},\ a_{k+1} = -a_k + \frac{1}{2-a_k}
\)
pre všetky kladné celé čísla \(k\). Dokážte, že pre všetky kladné celé čísla $n$ platí
\[
\left(\frac{n}{2(a_1+a_2+\dots+a_n)}-1\right)^n \le \left(\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}\right)^n\left(\frac{1}{a_1}-1\right)\left(\frac{1}{a_2}-1\right)\dots\left(\frac{1}{a_n}-1\right).
\]
Newsletter
Nenechajte si ujsť akcie, ktoré chystáme a odoberajte náš newsletter!