Zadania seminára STROM, 42. ročník - Zimný semester


1. Nech $a$, $b$, $c$ sú dĺžky strán trojuholníka $ABC$ ($a$ oproti $A$, $b$ oproti $B$ a $c$ oproti $C$). Navyše tieto dĺžky sú celočíselné a čísla $b$, $c$ sú nesúdeliteľné čísla. Nech $D$ je priesečník strany $BC$ a osi uhla $BAC$. Dokážte, že ak sú trojuholníky $DBA$ a $ABC$ podobné, tak $c$ je druhou mocninou celého čísla.
2. Nech $P_1(x)=x^2+a_1x+b_1$ a $P_2(x)=x^2+a_2x+b_2$ sú dva kvadratické polynómy s celočíselnými koeficientami. Platí, že $a_1\not =a_2$ a existujú rôzne celé čísla $m$, $n$ také, že $P_1(m)=P_2(n)$ a $P_1(n)=P_2(m).$ Dokážte, že $a_1-a_2$ je párne.
3. Na stretnutie prišlo $2k+1$ ľudí. Každí dvaja sa buď poznajú, alebo nepoznajú (vzťahy sú vzájomné). Pre každú skupinu práve $k$ ľudí existuje človek mimo tejto skupiny, ktorý v nej pozná každého. Dokážte, že na stretnutí je človek, ktorý pozná všetkých.
4. Nech $c$, $d$ sú dva delitele prirodzeného čísla $n$, pričom $c>d$. Dokážte, že $c>d+d^2/n$.
5. Daný je trojuholník $ABC$. Nech $k$ je jeho pripísaná kružnica, ktorá sa dotýka strany $BC$ v bode $K$ a polpriamok $AB$ a $AC$ sa dotýka v bodoch $L$ a $M$. Kružnica s priemerom $BC$ pretína úsečku $LM$ v bodoch $P$, $Q$, pričom $P$ leží medzi $L$ a $Q$. Dokážte, že polpriamky $BP$ a $CQ$ sa pretínajú v strede kružnice $k$.
6. Je možné napísať do každého políčka nekonečnej štvorčekovej tabuľky prirodzené číslo tak, aby pre každú dvojicu prirodzených čísel $m$, $n$ platilo, že súčet čísel v ľubovoľnom obdĺžniku $m\times n$ je deliteľný $m+n$? Poznámka: Tabuľka je nekonečná do všetkých štyroch smerov, môžeme si to predstaviť tak, že má riadky aj stĺpce očíslované celými číslami.

1. Celé čísla $a,\ b,\ c$ spĺňajú rovnosť $a+b+c=bc$. Dokážte, že číslo $(a+b)(a+c)$ je deliteľné 4.
2. Deti sú rozdelené do 3 tímov -- červeného, zeleného a modrého. Na začiatku je v červenom tíme $c$ detí, v zelenom $z$ detí a v modrom $m$ detí. Keď sa stretnú dve deti z rôznych tímov, tak sa obaja pridajú k tímu tej farby, ktorú nemal ani jeden z nich. V závislosti od $c$, $m$, $z$ zistite, či je možné, aby po čase skončili všetky deti v jednom tíme.
3. Biliardový stôl má tvar obdĺžnika $ABCD$. Nech $XKLMNX$ je dráha biliardovej gule, ktorá sa z bodu $X$ dostane po odraze od všetkých štyroch strán biliardového stola naspäť na pôvodné miesto, t.j. body $K,\ L,\ M,\ N$ ležia postupne na stranách $AB,\ BC,\ CD,\ DA$. Dokážte, že $KLMN$ je rovnobežník a dĺžka cesty nezávisí od polohy bodu $X$. Vyjadrite ju.
4. Na tabuli je napísaných $n>3$ rôznych prirodzených čísel, ktoré sú nanajvýš $(n-1)!$. Pre každú dvojicu čísel $a>b$ na tabuli si do zošita zapíšeme čiastočný podiel (výsledok po celočíselnom delení) čísel $a$ a $b$. (Teda ak $a=47$ a $b=7$, tak si zapíšeme 6.) Dokážte, že sme si do zošita zapísali aspoň 2 rovnaké čísla.
5. Nech $\alpha$ je dané reálne číslo. Nájdite všetky funkcie $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ také, že pre všetky reálne čísla $x$, $y$ platí $$f(f(x+y)f(x-y))=x^2+\alpha yf(y).$$
6. $ABCD$ je rovnobežník s ostrým uhlom $DAB$. Body $A,\ P,\ B,\ D$ ležia na jednej kružnici v tomto poradí. Priamky $AP$ a $CD$ sa pretínajú v bode $Q$. Bod $O$ je stred kružnice opísanej trojuholníku $CPQ$. Dokážte, že ak $D \neq O$, tak priamky $AD$ a $DO$ sú na seba kolmé.

Aktuality

Matboj 2017
27.10.2017 sa v Kultúrno-spoločenskom centre na Jedlíkovej 7 v Košiciach uskutoční už sedemnásty ročník Košického Matboju. Oficiálnu pozvánku, pokyny k prihlasovaniu ako aj všetky ostatné náležitosti nájdete na tomto odkaze.
(08. október 2017)

42. ročník STROMu začína
Nový školský rok začal a nové príklady na riešnie nájdete v časopise.
(19. september 2017)

Jesenné sústredenie
Pozvnánka na jesenné sústredenie STROMu bolo rozoslaná. Prihlásiť sa môžete tu.
(01. august 2017)

Je dobojované..
.. na výsledkoch letnej časti 41. ročníka už nič nezmeníte. Radšej mrknite do časáku, vstrebajte informácie a tešíme sa v septembri ;)
(27. máj 2017)

1. séria opravená
Prvá séria letného semestra je opravená. Na stránke nájdete už aj nový ČASOPIS.
(10. apríl 2017)

Info

Stránka je vo vývoji, a je možné že natrafíte na chyby alebo nedostatky. Vaše postrehy a návrhy na zlepšenie prosím zasielajte na adresu



Tento projekt sa organizuje vďaka podpore z Európskeho sociálneho fondu a Európskeho fondu regionálneho rozvoja v rámci Operačného programu Ľudské zdroje.