Matúš si vymyslel 4 kladné, nie nutne celé čísla $a$, $b$, $c$ a $d$. Má teda 6 možností, ako vynásobiť práve 2 z nich. Peťovi ale Matúš povedal len 5 z týchto 6 súčinov, konkrétne $2$, $3$, $4$, $5$ a $6$. Pomôžte Peťovi nájsť šiesty súčin.

Blcha skáče po mrežových bodoch štvorčekovej siete. Každým skokom sa dostane o 1 mrežový bod vyššie, nižšie, doprava alebo doľava. Začne skákať z bodu $[0,0]$. Do koľkých mrežových bodov sa môže dostať presne po 15 skokoch?

Dokážte že súčet $\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}$ je iracionálne číslo.

Dokážte, že pre všetky $n$ sa dajú prirodzené čísla od $1$ až po $n$ usporiadať tak, aby sa medzi žiadnymi dvoma z nich nenachádzal ich priemer. Napríklad $6$, $1$, $4$, $5$, $3$, $2$ nie je dobré zoradenie čísel od $1$ po $6$, lebo medzi $2$ a $6$ sa nachádza ich priemer $4$.

Na šachovom turnaji sa zúčastnilo $n$ šachistov: veľmajstri a majstri. Po skončení turnaja, na ktorom hral každý s každým, sa ukázalo, že každý účastník získal presne polovicu svojich výhier v partiách proti majstrom. Ukážte, že $\sqrt{n}$ je celé číslo, ak viete, že žiaden zo zápasov neskončil remízou.

Majme trojuholník $ABC$, nech $A_1$, $B_1$, $C_1$ sú stredmi lomených čiar $CAB$, $ABC$, $BCA$ (sú v polovici ich dĺžok). Nech $p$, $q$, $r$ sú priamky vedúce cez $A_1$, $B_1$, $C_1$ a rovnobežné s osami vnútorných uhlov trojuholníka $ABC$ pri vrcholoch $A$, $B$, $C$. Dokážte, že $p$, $q$ a $r$ sa pretínajú v jednom spoločnom bode.

Robčo našiel prirodzené čísla $a$, $b$, $c$ také, že platí $a^2 = 2b^3 = 3c^5$. Zistite najmenšiu možnú hodnotu súčinu $abc$.

Koľko existuje 5-ciferných čísel tvaru $\overline{ABCDE}$, pre ktoré platí, že

• a) $A > B > C > D > E$ ?
• b) $A \geq B \geq C \geq D \geq E$ ?

V rovnoramennom trojuholníku $ABC$ so základňou $BC$ pretína os uhla pri $B$ stranu $AC$ v bode $D$. Vieme, že platí $|BC|=|BD|+|AD|$. Určte veľkosť uhla pri vrchole $A$.

Nech $x$ a $y$ sú kladné reálne čísla spĺňajúce $y^3+y \leq x-x^3$. Dokážte, že potom platí $ y \lt x \lt 1 $ a $x^2+y^2 \lt 1 $.

Čísla $1,\, 2,\, \dots,\, n^2$ sú zapísané do štvorcovej tabuľky $n \times n$ tak, že čísla v každom riadku (zľava doprava) a v každom stĺpci (zhora dole) sú v rastúcom poradí. Označme $a_{jk}$ číslo zapísané v $j$-tom riadku a $k$-tom stĺpci. Nech $b_j$ je počet rôznych čísel, ktoré sa môžu objaviť v tabuľke na mieste $a_{jj}$. Dokážte, že $$b_1+b_2+ \dots +b_n \leq {n \over 3}(n^2-3n+5).$$ (Napríklad pre $n=3$ jediné čísla, ktoré sa môžu v tabuľke objaviť ako $a_{22}$ sú $4$, $5$, $6$, takže $b_2=3$.)

Dokážte, že existuje taká nekonečná rastúca postupnosť prirodzených čísel $a_1,a_2, \dots $, že pre každé celé $k \geq 0$, postupnosť $a_1+k, a_2+k, a_3+k, \dots$ obsahuje len konečne veľa prvočísel.